Asymptoter: vertikale og horisontale

Matematikk R1 · Vg2, realfagsmatematikk · eksamen: del 1 og del 2

En asymptote er en linje grafen kommer nærmere og nærmere uten å treffe. Vertikale asymptoter finner du der nevneren er null, og horisontale med grenseverdier når x går mot uendelig.

Lær dette i Sophus: 5.4 Asymptoter i Matematikk R1, med video og øving. Se leksjonen

Vertikal asymptote

En rasjonal funksjon har vertikal asymptote x = a der nevneren er 0 og telleren ikke er 0. Er både teller og nevner 0, kan det være et hull i stedet. Asymptoten skrives som en linje: x = 3, ikke y = 3.

Horisontal asymptote

Er lim_x→±∞ f(x) = b, er y = b en horisontal asymptote. For en brøk med samme grad i teller og nevner er b forholdet mellom tallene foran de høyeste potensene.

Eksempler

Eksempel 1: rasjonal funksjon

f(x) = 2x + 1x − 3. Nevneren er null i x = 3, og telleren er 7 der. Altså er x = 3 en vertikal asymptote.

lim_x→∞ 2 + 1x1 − 3x = 2

y = 2 er en horisontal asymptote.

Eksempel 2: to vertikale asymptoter

g(x) = 3xx² − 1. Nevneren er null i x = 1 og x = −1, og telleren er ±3 der. Begge er vertikale asymptoter.

Graden i nevneren er høyere enn i telleren, så g(x) → 0 når x → ±∞, og y = 0 er horisontal asymptote.

Eksempel 3: hull, ikke asymptote

h(x) = x² − 4x − 2. I x = 2 er både teller og nevner 0. Forkorter vi, får vi x + 2, så grafen er en rett linje med et hull i (2, 4). Det er ingen asymptote.

Eksempel 4: eksponentialfunksjon

k(x) = e^−x + 2. Når x → ∞, går e^−x → 0, så k(x) → 2. y = 2 er horisontal asymptote. Funksjonen har ingen vertikal asymptote.

Vanlige feil

Å skrive den vertikale asymptoten som y = 3. Den er en loddrett linje, x = 3.
Å finne den horisontale asymptoten ved å sette inn x = 0.
Å kalle et hull for en asymptote. Sjekk om telleren også er 0.

På eksamen

Asymptoter kommer på del 1 i R1, ofte sammen med brøkregelen i en drøfting av en rasjonal funksjon. Du kan også få en modell der den horisontale asymptoten er en øvre grense, som i logistisk vekst. Fra våren 2027 tegner du grafen for hånd på del 2, og asymptotene er gode hjelpelinjer.

I kurset hører temaet til leksjon 5.4 i modulen Funksjonsdrøfting, som øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R1, og bruk formelarket for R1 når du øver.

Spørsmål og svar

Hvordan finner jeg vertikale asymptoter?

Finn x-verdiene der nevneren er 0 og telleren ikke er 0. Asymptoten er linjen x = a.

Hvordan finner jeg horisontale asymptoter?

Finn grenseverdien når x går mot uendelig. Er den b, er y = b en horisontal asymptote.

Kan grafen krysse en asymptote?

En horisontal asymptote kan krysses for endelige x-verdier. En vertikal asymptote kan ikke krysses.

Les også

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den. Alt innhold i Sophus skal være riktig.