Topp- og bunnpunkter – forklart steg for steg

Matematikk R1 · modul 5 · leksjon 5.2 · eksamen: del 1 og del 2

Et toppunkt er der grafen slutter å stige og begynner å synke. Her lærer du å finne topp- og bunnpunkter med den deriverte, og å skille dem fra terrassepunkter.

Dette er leksjon 5.2 Topp- og bunnpunkter i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Metoden

1. Løs f′(x) = 0.
2. Lag fortegnslinje for f′(x).
3. Skifter fortegnet fra + til −, er det et toppunkt. Fra − til +, er det et bunnpunkt.
4. Regn ut y-verdien med f(x), og oppgi punktet som (x, y).

Terrassepunkt

For f(x) = x³ er f′(x) = 3x², som er 0 i x = 0. Men 3x² er positiv på begge sider, så fortegnet skifter ikke. Grafen flater ut og fortsetter oppover. Punktet (0, 0) er et terrassepunkt, ikke et topp- eller bunnpunkt.

Eksempler

Eksempel 1: et toppunkt

Finn toppunktet til f(x) = −x² + 4x.

f′(x) = −2x + 4
−2x + 4 = 0
x = 2
f(2) = 4

Svar: Toppunktet er (2, 4).

f′ er positiv for x < 2 og negativ for x > 2, så fortegnet skifter fra + til −.

Eksempel 2: topp og bunn

Finn topp- og bunnpunktene til f(x) = x³ − 3x.

f′(x) = 3(x − 1)(x + 1)
f(−1) = 2
f(1) = −2

Svar: Toppunkt (−1, 2) og bunnpunkt (1, −2).

Øv selv: 15 oppgaver i funksjonsdrøfting med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å oppgi bare x-verdiene. Et punkt har både x og y.
• Å tro at alle punkter med f′(x) = 0 er topp- eller bunnpunkter. Sjekk fortegnsskiftet.
• Å regne ut y-verdien med f′(x) i stedet for f(x).

På eksamen

Topp- og bunnpunkter kommer i nesten alle funksjonsdrøftinger på eksamen. Vis fortegnslinja, så sensor ser at fortegnet skifter. Fra våren 2027 har du ikke GeoGebra på del 2, så du regner ut y-verdiene med kalkulatoren.

Leksjonen hører til modulen Funksjonsdrøfting og øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R1, og bruk formelarket for R1 når du øver.

Begreper: toppunkt bunnpunkt ekstremalpunkt

Les også

• Fortegnslinje og monotoniegenskaper – forklart steg for steg
• Vendepunkt og den andrederiverte
• Asymptoter: vertikale og horisontale
• Optimering – forklart steg for steg
• Drøfting med eˣ og ln x – forklart steg for steg
• Funksjonsdrøfting: oppgaver med fasit
• Prøv en gratis oppgave i R1

Mer om matte R1

• Alle modulene i matte R1
• Eksamen i R1: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for R1: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for R1
• Begrepene i R1 forklart
• De 10 vanligste feilene i R1
• Temaer i R1 forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i R1, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.