Funksjonsdrøfting: oppgaver med fasit

Matematikk R1 · Vg2, realfagsmatematikk · 15 oppgaver · eksamen: del 1 og del 2

15 oppgaver i funksjonsdrøfting i R1, med løsning steg for steg og fasit. Prøv selv først, og trykk «Vis løsning» når du vil sjekke svaret. Oppgavene er sortert fra kort til lang løsning.

Lær dette i Sophus: 5.1 Fortegnslinje og monotoniegenskaper, 5.2 Topp- og bunnpunkter i Matematikk R1, med video og øving med nye tall hver gang. Se leksjonen

Lettere oppgaver

Oppgave 1

Hvor vokser og avtar f?

f(x) = x² + 8x

A: f vokser for x < −4 og avtar for x > −4
B: f avtar for x < −4 og vokser for x > −4
C: f avtar for −8 < x < 0
D: f vokser for alle x

Vis løsning på oppgave 1

f′(x) = 2x + 8 = 2(x + 4). f′(x) < 0 for x < −4 og f′(x) > 0 for x > −4. f avtar for x < −4 og vokser for x > −4.

Fasit: B: f avtar for x < −4 og vokser for x > −4

Fra leksjon 5.1 Fortegnslinje og monotoniegenskaper · Se forklaringen i videoen

Oppgave 2

For en funksjon f er f′(1) = −3. Hva betyr det?

A: Grafen synker der
B: Grafen ligger under x-aksen der
C: Grafen har et toppunkt der
D: Grafen stiger der

Vis løsning på oppgave 2

f′(1) = −3 er negativ, så tangenten heller nedover, og grafen synker i x = 1.

Fasit: A: Grafen synker der

Fra leksjon 5.1 Fortegnslinje og monotoniegenskaper · Se forklaringen i videoen

Oppgave 3

Hvor vokser og avtar f?

f(x) = x² − 6x

A: f avtar for 0 < x < 6
B: f vokser for x < 3 og avtar for x > 3
C: f avtar for x < 3 og vokser for x > 3
D: f vokser for alle x

Vis løsning på oppgave 3

f′(x) = 2x − 6 = 2(x − 3). f′(x) < 0 for x < 3 og f′(x) > 0 for x > 3. f avtar for x < 3 og vokser for x > 3.

Fasit: C: f avtar for x < 3 og vokser for x > 3

Fra leksjon 5.1 Fortegnslinje og monotoniegenskaper · Se forklaringen i videoen

Oppgave 4

For en funksjon f er f′(1) = 2. Hva betyr det?

A: Grafen synker der
B: Grafen ligger over x-aksen der
C: Grafen har et toppunkt der
D: Grafen stiger der

Vis løsning på oppgave 4

f′(1) = 2 er positiv, så tangenten heller oppover, og grafen stiger i x = 1.

Fasit: D: Grafen stiger der

Fra leksjon 5.1 Fortegnslinje og monotoniegenskaper · Se forklaringen i videoen

Oppgave 5

Den deriverte er f′(x) = −3(x − 1)(x − 2). For hvilke x avtar f?

A: x < 1 og x > 2
B: x < 1
C: x > 2
D: 1 < x < 2

Vis løsning på oppgave 5

Nullpunkter: x = 1 og x = 2.

Med tallet −3 foran gir fortegnslinja −, + og −. f avtar der f′ < 0: x < 1 og x > 2.

Fasit: A: x < 1 og x > 2

Fra leksjon 5.1 Fortegnslinje og monotoniegenskaper · Se forklaringen i videoen

Middels vanskelige

Oppgave 6

f′(−1) = 0. Hva slags punkt har grafen i (−1, −1)?

f(x) = (x + 1)³ − 1

A: Toppunkt
B: Ikke noe spesielt punkt
C: Terrassepunkt
D: Bunnpunkt

Vis løsning på oppgave 6

f′(x) = 3(x + 1)² er 0 i x = −1 og positiv ellers.

Fortegnet skifter ikke, så (−1, −1) er et terrassepunkt.

Fasit: C: Terrassepunkt

Fra leksjon 5.2 Topp- og bunnpunkter · Se forklaringen i videoen

Oppgave 7

Grafen har et toppunkt i x = −4. Finn y-koordinaten.

f(x) = x³ − 48x + 3

Vis løsning på oppgave 7

f(−4) = (−4)³ − 48 · (−4) + 3 = −64 + 192 + 3 = 131.

Fasit: 131

Fra leksjon 5.2 Topp- og bunnpunkter · Se forklaringen i videoen

Oppgave 8

Den deriverte er f′(x) = −3(x + 2)x. For hvilke x avtar f?

A: x > 0
B: x < −2 og x > 0
C: −2 < x < 0
D: x < −2

Vis løsning på oppgave 8

Nullpunkter: x = −2 og x = 0.

Med tallet −3 foran gir fortegnslinja −, + og −. f avtar der f′ < 0: x < −2 og x > 0.

Fasit: B: x < −2 og x > 0

Fra leksjon 5.1 Fortegnslinje og monotoniegenskaper · Se forklaringen i videoen

Oppgave 9

Finn topp- eller bunnpunktet.

f(x) = −x² − 2x

A: Toppunkt i x = −1
B: Toppunkt (−1, 0)
C: Toppunkt (−1, 1)
D: Bunnpunkt (−1, 1)

Vis løsning på oppgave 9

f′(x) = −2x − 2 = 0 gir x = −1. f′ går fra + til −, så det er et toppunkt. f(−1) = 1.

Toppunkt (−1, 1).

Fasit: C: Toppunkt (−1, 1)

Fra leksjon 5.2 Topp- og bunnpunkter · Se forklaringen i videoen

Oppgave 10

Hvor vokser og avtar f?

f(x) = x³ + 3x²

A: f avtar for x < −3 og vokser for x > −3
B: f avtar for x < −2 og x > 0, og vokser for −2 < x < 0
C: f avtar for x < −2 og vokser for x > −2
D: f vokser for x < −2 og x > 0, og avtar for −2 < x < 0

Vis løsning på oppgave 10

f′(x) = 3x² + 6x = 3x(x + 2).

Nullpunkter: x = 0 og x = −2.

Fortegnslinja gir +, − og +. f vokser for x < −2 og x > 0, og avtar for −2 < x < 0.

Fasit: D: f vokser for x < −2 og x > 0, og avtar for −2 < x < 0

Fra leksjon 5.1 Fortegnslinje og monotoniegenskaper · Se forklaringen i videoen

Mer krevende

Oppgave 11

Hvor vokser og avtar f?

f(x) = x³ − 3x²

A: f avtar for x < 3 og vokser for x > 3
B: f avtar for x < 2 og vokser for x > 2
C: f vokser for x < 0 og x > 2, og avtar for 0 < x < 2
D: f avtar for x < 0 og x > 2, og vokser for 0 < x < 2

Vis løsning på oppgave 11

f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2).

Nullpunkter: x = 0 og x = 2.

Fortegnslinja gir +, − og +. f vokser for x < 0 og x > 2, og avtar for 0 < x < 2.

Fasit: C: f vokser for x < 0 og x > 2, og avtar for 0 < x < 2

Fra leksjon 5.1 Fortegnslinje og monotoniegenskaper · Se forklaringen i videoen

Oppgave 12

Hvor vokser og avtar f?

f(x) = x³ − 48x

A: f vokser for x < −4 og x > 4, og avtar for −4 < x < 4
B: f avtar for x < −4 og x > 4, og vokser for −4 < x < 4
C: f avtar for x < 4 og vokser for x > 4
D: f vokser for alle x

Vis løsning på oppgave 12

f′(x) = 3x² − 48 = 3(x² − 16) = 3(x − 4)(x + 4).

Nullpunkter: x = −4 og x = 4.

Fortegnslinja gir +, − og +. f vokser for x < −4 og x > 4, og avtar for −4 < x < 4.

Fasit: A: f vokser for x < −4 og x > 4, og avtar for −4 < x < 4

Fra leksjon 5.1 Fortegnslinje og monotoniegenskaper · Se forklaringen i videoen

Oppgave 13

Hvor vokser og avtar f?

f(x) = x³ − 27x

A: f avtar for x < −3 og x > 3, og vokser for −3 < x < 3
B: f vokser for alle x
C: f vokser for x < −3 og x > 3, og avtar for −3 < x < 3
D: f avtar for x < 3 og vokser for x > 3

Vis løsning på oppgave 13

f′(x) = 3x² − 27 = 3(x² − 9) = 3(x − 3)(x + 3).

Nullpunkter: x = −3 og x = 3.

Fortegnslinja gir +, − og +. f vokser for x < −3 og x > 3, og avtar for −3 < x < 3.

Fasit: C: f vokser for x < −3 og x > 3, og avtar for −3 < x < 3

Fra leksjon 5.1 Fortegnslinje og monotoniegenskaper · Se forklaringen i videoen

Oppgave 14

Finn bunnpunktet.

f(x) = x³ − 6x²

A: (−32, 4)
B: (0, 0)
C: (4, −32)
D: (4, 0)

Vis løsning på oppgave 14

f′(x) = 3x² − 12x = 3x(x − 4) = 0 gir x = 0 og x = 4.

Fortegnslinja gir +, − og +, så bunnpunktet er i x = 4. f(4) = −32.

Fasit: C: (4, −32)

Fra leksjon 5.2 Topp- og bunnpunkter · Se forklaringen i videoen

Oppgave 15

Finn topp- og bunnpunktene.

f(x) = x³ − 12x

A: Toppunkt i x = −2 og bunnpunkt i x = 2
B: Toppunkt (−2, 16) og bunnpunkt (2, −16)
C: Toppunkt (−2, 0) og bunnpunkt (2, 0)
D: Toppunkt (2, −16) og bunnpunkt (−2, 16)

Vis løsning på oppgave 15

f′(x) = 3x² − 12 = 3(x + 2)(x − 2) = 0 gir x = −2 og x = 2.

Fortegnslinja gir +, − og +. f(−2) = −8 + 24 = 16 og f(2) = 8 − 24 = −16.

Toppunkt (−2, 16) og bunnpunkt (2, −16).

Fasit: B: Toppunkt (−2, 16) og bunnpunkt (2, −16)

Fra leksjon 5.2 Topp- og bunnpunkter · Se forklaringen i videoen

Fasit

Vis fasit til alle oppgavene

Oppgave 1: B: f avtar for x < −4 og vokser for x > −4
Oppgave 2: A: Grafen synker der
Oppgave 3: C: f avtar for x < 3 og vokser for x > 3
Oppgave 4: D: Grafen stiger der
Oppgave 5: A: x < 1 og x > 2
Oppgave 6: C: Terrassepunkt
Oppgave 7: 131
Oppgave 8: B: x < −2 og x > 0
Oppgave 9: C: Toppunkt (−1, 1)
Oppgave 10: D: f vokser for x < −2 og x > 0, og avtar for −2 < x < 0
Oppgave 11: C: f vokser for x < 0 og x > 2, og avtar for 0 < x < 2
Oppgave 12: A: f vokser for x < −4 og x > 4, og avtar for −4 < x < 4
Oppgave 13: C: f vokser for x < −3 og x > 3, og avtar for −3 < x < 3
Oppgave 14: C: (4, −32)
Oppgave 15: B: Toppunkt (−2, 16) og bunnpunkt (2, −16)

Oppgavene hører til leksjonene 5.1–5.2 i modulen Funksjonsdrøfting, som øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R1, og bruk formelarket for R1 når du øver.

Les også

Oppgavene er laget av Sophus med de samme oppgavemalene som i kurset, og løsningene er kontrollert av en regnekontroll. Ser du likevel en feil, si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.