Eksponentialfunksjoner med andre grunntall – forklart steg for steg

Matematikk R1 · modul 4 · leksjon 4.6 · eksamen: del 1 og del 2

Du kan allerede derivere eˣ. Her lærer du å derivere 2ˣ, 5ˣ og andre grunntall, og hvorfor faktoren ln a dukker opp.

Dette er leksjon 4.6 Eksponentialfunksjoner med andre grunntall i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Regelen

(aˣ)′ = aˣ · ln a

For a = e er ln e = 1, så regelen gir (eˣ)′ = eˣ, som du kjenner fra før.

Hvor kommer ln a fra?

Ethvert positivt tall kan skrives som en potens av e: a = e opphøyd i ^{ln a}. Da er aˣ = e opphøyd i ^{x · ln a}. Med kjerneregelen blir den deriverte e opphøyd i ^{x · ln a} · ln a, altså aˣ · ln a.

ln av en kjerne

Med kjerneregelen blir (ln u)′ = u′ delt på u. For eksempel er (ln(x² + 4))′ = 2x delt på x² + 4.

Eksempler

Eksempel 1: en konstant ganger 2ˣ

Deriver f(x) = 5 · 2ˣ.

f′(x) = 5 · 2ˣ · ln 2

Svar: f′(x) = 5 ln 2 · 2ˣ

Eksempel 2: stigningstall i x = 0

f(x) = 3 · 5ˣ. Finn f′(0).

f′(x) = 3 · 5ˣ · ln 5
f′(0) = 3 ln 5
3 ln 5 ≈ 4,83

Svar: f′(0) = 3 ln 5 ≈ 4,83

Øv selv: 15 oppgaver i flere derivasjonsregler med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

Å bruke potensregelen på 2ˣ og skrive x · 2 opphøyd i ^{x − 1}. Potensregelen gjelder når x står i grunntallet, ikke i eksponenten.
Å glemme faktoren ln 2.
Å glemme den deriverte av kjernen når du deriverer ln(x² + 4).

På eksamen

På del 1 skal svaret stå eksakt, med ln 2 eller ln 5. På del 2 regner du ut et desimaltall på kalkulatoren hvis oppgaven spør etter det. Skriv regelen du bruker, så sensor ser hva du gjør.

Leksjonen hører til modulen Flere derivasjonsregler og øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R1, og bruk formelarket for R1 når du øver.

Begreper: grunntall

Les også

Mer om matte R1

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.