Optimering – forklart steg for steg

Matematikk R1 · modul 5 · leksjon 5.5 · eksamen: del 1 og del 2

I en optimeringsoppgave skal noe bli så stort eller så lite som mulig. Her lærer du å sette opp funksjonen, finne maksimum med den deriverte og huske endepunktene.

Dette er leksjon 5.5 Optimering i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Metoden

1. Bestem hva x er, og skriv det som skal bli størst eller minst som en funksjon av x.
2. Finn definisjonsmengden. Hvilke x gir mening?
3. Deriver, og løs f′(x) = 0.
4. Begrunn at det er et maksimum eller minimum, med fortegnslinje eller ved å sjekke endepunktene.

Husk endepunktene

På et lukket intervall kan den største eller minste verdien ligge i et endepunkt. For f(x) = x² − 4x + 5 på [0, 5] er bunnpunktet f(2) = 1, men den største verdien er f(5) = 10.

2² − 4 · 2 + 5 = 1
0² − 4 · 0 + 5 = 5
5² − 4 · 5 + 5 = 10

Eksempler

Eksempel 1: rektangel med gitt omkrets

Et rektangel har omkrets 20. Hvor stort kan arealet bli?

A(x) = x(10 − x)
A′(x) = 10 − 2x
10 − 2x = 0
x = 5
A(5) = 25

Svar: Det største arealet er 25, når rektangelet er et kvadrat med side 5.

Når den ene siden er x, er den andre 10 − x, fordi to sider til sammen er halve omkretsen.

Eksempel 2: gjerde mot en vegg

Du har 40 m gjerde og skal lage en rektangulær innhegning inntil en vegg. Hvor stort kan arealet bli?

A(x) = x(40 − 2x)
A′(x) = 40 − 4x
40 − 4x = 0
x = 10
A(10) = 200

Svar: Det største arealet er 200 m², med to sider på 10 m og én på 20 m.

x er de to sidene ut fra veggen. A′ skifter fortegn fra + til − i x = 10, så det er et maksimum.

Øv selv: 15 oppgaver i optimering med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å bruke hele omkretsen som den ene siden og skrive A = x(20 − x).
• Å glemme å begrunne at det er et maksimum.
• Å glemme endepunktene når x bare kan ligge i et intervall.

På eksamen

Optimering kommer ofte som en lengre oppgave på del 2. Skriv hva x står for, sett opp funksjonen og definisjonsmengden, og begrunn svaret. Fra våren 2027 finner du maksimum ved regning, ikke med GeoGebra.

Leksjonen hører til modulen Funksjonsdrøfting og øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R1, og bruk formelarket for R1 når du øver.

Begreper: optimering maksimum minimum

Les også

• Fortegnslinje og monotoniegenskaper – forklart steg for steg
• Topp- og bunnpunkter – forklart steg for steg
• Vendepunkt og den andrederiverte
• Asymptoter: vertikale og horisontale
• Drøfting med eˣ og ln x – forklart steg for steg
• Optimering: oppgaver med fasit
• Prøv en gratis oppgave i R1

Mer om matte R1

• Alle modulene i matte R1
• Eksamen i R1: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for R1: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for R1
• Begrepene i R1 forklart
• De 10 vanligste feilene i R1
• Temaer i R1 forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i R1, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.