Røtter og negative eksponenter – forklart steg for steg

Matematikk R1 · modul 4 · leksjon 4.1 · eksamen: del 1, uten hjelpemidler

Potensregelen (xⁿ)′ = n · x opphøyd i ^{n − 1} gjelder også når n er negativ eller en brøk. Her lærer du å skrive røtter og brøker som potenser, så du kan derivere dem.

Dette er leksjon 4.1 Røtter og negative eksponenter i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Skriv om først

Før du deriverer, skriver du om til potenser: √x = x opphøyd i ^1⁄2, 1 delt på x = x opphøyd i ⁻¹ og 1 delt på x² = x opphøyd i ⁻². Så bruker du potensregelen: gang med eksponenten, og trekk 1 fra eksponenten.

To regler du bør kunne

(√x)′ = 1 delt på 2√x, fordi 1 delt på 2 · x opphøyd i ^−1⁄2 = 1 delt på 2√x.

(1 delt på x)′ = −1 delt på x², fordi −1 · x opphøyd i ⁻² = −1 delt på x².

Andre røtter

Tredjeroten av x² kan skrives x opphøyd i ^2⁄3. Potensregelen gir 2 delt på 3 · x opphøyd i ^−1⁄3, fordi 2 delt på 3 − 1 = −1 delt på 3. Tilbake på rotform blir det 2 delt på 3 delt på tredjeroten av x.

Regelen er den samme for alle røtter: skriv om til potens, gang med eksponenten, trekk 1 fra eksponenten, og skriv tilbake. Det lønner seg å skrive tilbake til rotform til slutt, fordi svaret da er lettere å lese.

2 delt på 3 − 1 = −1 delt på 3
1 delt på 2 − 1 = −1 delt på 2

Eksempler

Eksempel 1: rot og brøk

Deriver f(x) = √x + 1 delt på x².

f(x) = x opphøyd i ^1⁄2 + x opphøyd i ⁻²
f′(x) = 1 delt på 2x opphøyd i ^−1⁄2 − 2x opphøyd i ⁻³
f′(x) = 1 delt på 2√x − 2 delt på x³

Svar: f′(x) = 1 delt på 2√x − 2 delt på x³

Eksempel 2: med konstanter

Deriver g(x) = 4√x − 3 delt på x.

g(x) = 4x opphøyd i ^1⁄2 − 3x opphøyd i ⁻¹
g′(x) = 2x opphøyd i ^−1⁄2 + 3x opphøyd i ⁻²
g′(x) = 2 delt på √x + 3 delt på x²

Svar: g′(x) = 2 delt på √x + 3 delt på x²

Minus ganger minus blir pluss: −3 · (−1) = 3.

Øv selv: 15 oppgaver i flere derivasjonsregler med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

Å derivere 1 delt på x² til 1 delt på 2x. Skriv om til x opphøyd i ⁻² først.
Å glemme å trekke 1 fra eksponenten når den er en brøk. 1 delt på 2 − 1 = −1 delt på 2.
Å miste minustegnet når eksponenten er negativ.

På eksamen

Derivasjon med røtter og brøker kommer på del 1. Skriv omskrivingen til potenser på en egen linje, og skriv svaret tilbake med rot og brøk. Sensor vil se at du kan potensreglene.

Leksjonen hører til modulen Flere derivasjonsregler og øves til del 1, uten hjelpemidler. Les mer om eksamen i R1, og bruk formelarket for R1 når du øver.

Begreper: potensregel

Les også

Mer om matte R1

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.