Brøkregelen: deriver en brøk

Matematikk R1 · Vg2, realfagsmatematikk · eksamen: del 1 og del 2

Brøkregelen deriverer en funksjon som er en brøk av to funksjoner. Den ligner produktregelen, men har minus i telleren og nevneren i andre.

Lær dette i Sophus: 4.5 Brøkregelen i Matematikk R1, med video og øving. Se leksjonen

Regelen

(uv)′ = u′ · v − u · v′v²

Rekkefølgen i telleren betyr noe på grunn av minustegnet. Begynn alltid med u′ · v.

Behold nevneren

Gang ikke ut v² i nevneren. Den er positiv (der funksjonen er definert), så fortegnet til den deriverte bestemmes av telleren alene.

Sjekk med produktregelen

Usikker på svaret? Skriv brøken som et produkt, u · v⁻¹, og deriver med produktregelen og kjerneregelen. Du skal få det samme, bare skrevet på en annen måte. Det er også en god forklaring på hvor minustegnet i brøkregelen kommer fra: (v⁻¹)′ = −v⁻² · v′. Etterpå er det lurt å samle alt på én brøkstrek, så du kan lese av nullpunktene til telleren og tegne fortegnslinje.

Eksempler

Eksempel 1: rasjonal funksjon

f(x) = 2x + 1x − 3. u = 2x + 1, v = x − 3, u′ = 2 og v′ = 1.

f′(x) = 2(x − 3) − (2x + 1) · 1(x − 3)² = −7(x − 3)²

f′ er alltid negativ, så f avtar på hver side av x = 3.

Eksempel 2: eˣ delt på x

(e^xx)′ = e^x · x − e^x · 1x² = e^x(x − 1)x²

Eksempel 3: ln x delt på x

(ln xx)′ = 1x · x − ln xx² = 1 − ln xx²

Den deriverte er null når ln x = 1, altså x = e ≈ 2,718. Der har funksjonen et toppunkt.

Vanlige feil

Å bytte rekkefølgen i telleren: u · v′ − u′ · v gir feil fortegn.
Å glemme å kvadrere nevneren.
Å gange ut nevneren, så det blir vanskelig å se fortegnet.

På eksamen

Brøkregelen kommer på del 1 i R1, ofte med rasjonale funksjoner der du også skal finne asymptoter. I drøftingsoppgaver trenger du bare telleren for å lage fortegnslinje. Fra våren 2027 er del 2 uten datamaskin, så regelen trengs der også.

I kurset hører temaet til leksjon 4.5 i modulen Flere derivasjonsregler, som øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R1, og bruk formelarket for R1 når du øver.

Spørsmål og svar

Hva er brøkregelen?

(u/v)′ = (u′ · v − u · v′)/v².

Kan jeg bruke produktregelen i stedet?

Ja, ved å skrive u/v som u · v^(−1) og bruke kjerneregelen, men brøkregelen gir som regel et ryddigere svar.

Hvordan finner jeg fortegnet til den deriverte?

Nevneren v² er positiv, så fortegnet bestemmes av telleren.

Les også

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den. Alt innhold i Sophus skal være riktig.