Derivasjon av eˣ, aˣ og ln x

Matematikk R1 · Vg2, realfagsmatematikk · eksamen: del 1

Eksponentialfunksjonen e^x er spesiell: den er sin egen deriverte. Med den og (ln x)′ = 1x kan du derivere alle eksponentialfunksjoner og logaritmefunksjoner i R1.

Lær dette i Sophus: 4.2 eˣ og ln x i Matematikk R1, med video og øving. Se leksjonen

Reglene

e^x	(e^x)′ = e^x
e^kx	(e^kx)′ = k · e^kx
a^x	(a^x)′ = a^x · ln a
ln x	(ln x)′ = 1x, for x > 0

Hvorfor a^x gir ln a

Alle positive tall kan skrives som en potens av e: a = e^{ln a}. Da er a^x = e^{x · ln a}, og kjerneregelen gir a^x · ln a. For a = e er ln e = 1, og vi får e^x igjen.

Ikke potensregelen

e^x er ikke en potens av x, så (e^x)′ er ikke x · e^{x − 1}. Potensregelen gjelder når x står i grunntallet, ikke i eksponenten.

Eksempler

Eksempel 1: e^x i et uttrykk

Deriver f(x) = 3e^x − x².

f′(x) = 3e^x − 2x

Eksempel 2: annet grunntall

Deriver g(x) = 5 · 2^x, og finn g′(3).

g′(x) = 5 · 2^x · ln 2 · g′(3) = 40 ln 2 ≈ 27,73

Eksempel 3: vekstfart i en modell

Antall bakterier er N(t) = 200 e^0,3t, der t er timer. Hvor fort vokser bakteriene etter 5 timer?

N′(t) = 200 · 0,3 · e^0,3t = 60 e^0,3t · N′(5) = 60 e^1,5 ≈ 268,9

Etter 5 timer øker antallet med omtrent 269 bakterier per time.

Eksempel 4: ln x

Deriver h(x) = x² + 4 ln x.

h′(x) = 2x + 4x

Vanlige feil

Å derivere e^x som x · e^{x − 1}.
Å glemme ln a når grunntallet ikke er e.
Å derivere ln x til 1ln x. Riktig er 1x.
Å glemme den indre deriverte: (e^0,3t)′ = 0,3e^0,3t.

På eksamen

Derivasjon av e^x og ln x kommer på del 1 i R1 og S2 hvert år, ofte sammen med produktregelen og kjerneregelen i en drøftingsoppgave. På del 2 tolker du den deriverte i vekstmodeller. Fra våren 2027 deriverer du for hånd og regner ut verdier som e^1,5 på kalkulatoren.

I kurset hører temaet til leksjon 4.2 i modulen Flere derivasjonsregler, som øves til del 1. Les mer om eksamen i R1, og bruk formelarket for R1 når du øver.

Spørsmål og svar

Hva er den deriverte av e^x?

e^x. Funksjonen er sin egen deriverte.

Hva er den deriverte av a^x?

a^x · ln a. For eksempel er (2^x)′ = 2^x · ln 2.

Hva er den deriverte av ln x?

1/x, for x > 0.

Les også

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den. Alt innhold i Sophus skal være riktig.