Numerisk derivasjon – forklart steg for steg

Matematikk R1 · modul 3 · leksjon 3.6 · eksamen: del 2

Du kan finne en god tilnærming til den deriverte uten å derivere. Her lærer du formelen med en liten h, hvorfor mindre h gir bedre svar, og hvordan et kort program gjør utregningen.

Dette er leksjon 3.6 Numerisk derivasjon i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Formelen

Den deriverte er stigningstallet til tangenten. Bruker du en sekant med to punkter som ligger svært nær hverandre, får du nesten det samme:

f′(a) ≈ f(a + h) − f(a) delt på h, med en liten h, for eksempel 0,01.

Mindre h gir bedre svar

For f(x) = x² er f′(3) = 6. Med formelen får du:

3,1² − 3² delt på 0,1 = 6,1
3,01² − 3² delt på 0,01 = 6,01
3,001² − 3² delt på 0,001 = 6,001

Den symmetriske formelen f(a + h) − f(a − h) delt på 2h er ofte enda bedre. For x² og h = 0,1 gir den akkurat 6.

Eksempler

Eksempel 1: for hånd

f(x) = x³. Finn en tilnærmet verdi for f′(2) med h = 0,01.

2,01³ = 8,120601
8,120601 − 8 delt på 0,01 = 12,0601
12,0601 ≈ 12,06
f′(2) = 12

Svar: f′(2) ≈ 12,06. Den eksakte verdien er 12.

Eksempel 2: med Python

Hva skriver programmet ut?

def f(x):
    return x**3

h = 0.01
print(round((f(2 + h) - f(2)) / h, 4))

2,01³ − 2³ delt på 0,01 = 12,0601

Svar: Programmet skriver ut 12.0601.

Programmet regner det samme som du gjorde for hånd. Vil du ha et bedre svar, gjør du h mindre.

Øv selv: 15 oppgaver i derivasjonsregler og tangenter med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å dele på 2,01 i stedet for på h.
• Å velge en stor h. Da blir tilnærmingen dårlig.
• Å glemme å trekke fra f(a) i telleren.

På eksamen

Numerisk derivasjon kommer på del 2, ofte med et kort program du skal lese eller fullføre. Fra våren 2027 har du ikke datamaskin på del 2, så du regner ut med kalkulatoren og forklarer hva programmet gjør linje for linje.

Leksjonen hører til modulen Derivasjon og øves til del 2. Les mer om eksamen i R1, og bruk formelarket for R1 når du øver.

Begreper: numerisk derivasjon tilnærming

Les også

• Gjennomsnittlig og momentan vekstfart – forklart steg for steg
• Definisjonen av den deriverte
• Derivasjonsregler for polynomer – forklart steg for steg
• Tangenter – forklart steg for steg
• Når finnes ikke den deriverte? – forklart steg for steg
• Derivasjonsregler og tangenter: oppgaver med fasit
• Prøv en gratis oppgave i R1

Mer om matte R1

• Alle modulene i matte R1
• Eksamen i R1: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for R1: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for R1
• Begrepene i R1 forklart
• De 10 vanligste feilene i R1
• Temaer i R1 forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i R1, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.