Hopp til innholdet

Flere derivasjonsregler: oppgaver med fasit

Matematikk R1 · Vg2, realfagsmatematikk · 15 oppgaver · eksamen: del 1 og del 2

15 oppgaver i flere derivasjonsregler i R1, med løsning steg for steg og fasit. Prøv selv først, og trykk «Vis løsning» når du vil sjekke svaret. Oppgavene er sortert fra kort til lang løsning.

Lær dette i Sophus: 4.1 Røtter og negative eksponenter, 4.2 eˣ og ln x, 4.6 Eksponentialfunksjoner med andre grunntall i Matematikk R1, med video og øving med nye tall hver gang. Se leksjonen

Lettere oppgaver

Oppgave 1

Skriv roten som en potens.

√(x³)

  1. A: x opphøyd i 3⁄2
  2. B: x opphøyd i 2⁄3
  3. C: x⁶
  4. D: 3 delt på 2x
Vis løsning på oppgave 1

Da er √(x³) = x opphøyd i 3⁄2.

Roten gir 2 i nevneren, og eksponenten 3 står i telleren.

Fasit: A: x opphøyd i 3⁄2

Fra leksjon 4.1 Røtter og negative eksponenter · Se forklaringen i videoen

Oppgave 2

Deriver.

f(x) = 8eˣ + 3

  1. A: f′(x) = 8
  2. B: f′(x) = 8eˣ
  3. C: f′(x) = 8x · e opphøyd i x − 1
  4. D: f′(x) = 8eˣ + 3
Vis løsning på oppgave 2

(8eˣ)′ = 8eˣ, og konstanten gir 0. f′(x) = 8eˣ.

Fasit: B: f′(x) = 8eˣ

Fra leksjon 4.2 eˣ og ln x · Se forklaringen i videoen

Oppgave 3

Deriver.

f(x) = 3 ln x

  1. A: f′(x) = 1 delt på 3x
  2. B: f′(x) = 1 delt på x
  3. C: f′(x) = 3 delt på x
  4. D: f′(x) = 3 delt på ln x
Vis løsning på oppgave 3

(3 ln x)′ = 3 · 1 delt på x = 3 delt på x.

Fasit: C: f′(x) = 3 delt på x

Fra leksjon 4.2 eˣ og ln x · Se forklaringen i videoen

Oppgave 4

Finn f′(1).

f(x) = 9 ln x + 2x²

Vis løsning på oppgave 4

f′(x) = 9 delt på x + 4x, så f′(1) = 9 + 4 = 13.

Fasit: 13

Fra leksjon 4.2 eˣ og ln x · Se forklaringen i videoen

Oppgave 5

Finn stigningstallet til tangenten til f(x) = ln x i x = 2. Svar med desimaltall.

Vis løsning på oppgave 5

Da er f′(x) = 1 delt på x, så f′(2) = 1 delt på 2 = 0,5.

Fasit: 0,5

Fra leksjon 4.2 eˣ og ln x · Se forklaringen i videoen

Middels vanskelige

Oppgave 6

Deriver.

f(x) = 4 · 3ˣ

  1. A: f′(x) = 4 ln 3 · 3ˣ
  2. B: f′(x) = 4 · 3ˣ
  3. C: f′(x) = 4 · 3ˣ delt på ln 3
  4. D: f′(x) = 4x · 3 opphøyd i x − 1
Vis løsning på oppgave 6

(3ˣ)′ = 3ˣ · ln 3.

Tallet 4 blir stående, så f′(x) = 4 ln 3 · 3ˣ.

Fasit: A: f′(x) = 4 ln 3 · 3ˣ

Fra leksjon 4.6 Eksponentialfunksjoner med andre grunntall · Se forklaringen i videoen

Oppgave 7

Deriver.

f(x) = 3 delt på x²

  1. A: f′(x) = −6 delt på x
  2. B: f′(x) = 3 delt på 2x
  3. C: f′(x) = 6 delt på x³
  4. D: f′(x) = −6 delt på x³
Vis løsning på oppgave 7

3 delt på x² = 3x⁻².

Det gir 3 · (−2) · x⁻³ = −6x⁻³ = −6 delt på x³.

Fasit: D: f′(x) = −6 delt på x³

Fra leksjon 4.1 Røtter og negative eksponenter · Se forklaringen i videoen

Oppgave 8

Finn f′(1).

f(x) = 4√x + 2 delt på x

Vis løsning på oppgave 8

f(x) = 4x opphøyd i 1⁄2 + 2x⁻¹, så f′(x) = 2 delt på √x − 2 delt på x². f′(1) = 2 − 2 = 0.

Fasit: 0

Fra leksjon 4.1 Røtter og negative eksponenter · Se forklaringen i videoen

Oppgave 9

Deriver.

f(x) = 3eˣ + 6 ln x − 4x²

  1. A: f′(x) = 3x · e opphøyd i x − 1 + 6 delt på x − 8x
  2. B: f′(x) = 3eˣ + 6 delt på x − 4x
  3. C: f′(x) = 3eˣ + 6 delt på ln x − 8x
  4. D: f′(x) = 3eˣ + 6 delt på x − 8x
Vis løsning på oppgave 9

Ledd for ledd: (3eˣ)′ = 3eˣ, (6 ln x)′ = 6 delt på x og (4x²)′ = 8x. f′(x) = 3eˣ + 6 delt på x − 8x.

Fasit: D: f′(x) = 3eˣ + 6 delt på x − 8x

Fra leksjon 4.2 eˣ og ln x · Se forklaringen i videoen

Oppgave 10

Finn f′(0) når f(x) = 2 · 5ˣ. Svar med to desimaler.

Vis løsning på oppgave 10

f′(x) = 2 ln 5 · 5ˣ, og 5⁰ = 1, så f′(0) = 2 ln 5 ≈ 3,22.

Fasit: 3,22

Fra leksjon 4.6 Eksponentialfunksjoner med andre grunntall · Se forklaringen i videoen

Mer krevende

Oppgave 11

Deriver.

f(x) = 3 opphøyd i 4x

  1. A: f′(x) = 4 · 3 opphøyd i 4x
  2. B: f′(x) = ln 3 · 3 opphøyd i 4x
  3. C: f′(x) = 4x · 3 opphøyd i 4x − 1
  4. D: f′(x) = 4 ln 3 · 3 opphøyd i 4x
Vis løsning på oppgave 11

u = 4x og u′ = 4.

3 opphøyd i 4x · ln 3 · 4 = 4 ln 3 · 3 opphøyd i 4x.

Fasit: D: f′(x) = 4 ln 3 · 3 opphøyd i 4x

Fra leksjon 4.6 Eksponentialfunksjoner med andre grunntall · Se forklaringen i videoen

Oppgave 12

Deriver.

f(x) = ln(x² + 5)

  1. A: f′(x) = 1 delt på x² + 5
  2. B: f′(x) = x² + 5 delt på 2x
  3. C: f′(x) = 1 delt på 2x
  4. D: f′(x) = 2x delt på x² + 5
Vis løsning på oppgave 12

u = x² + 5 og u′ = 2x.

u′ delt på u = 2x delt på x² + 5.

Fasit: D: f′(x) = 2x delt på x² + 5

Fra leksjon 4.6 Eksponentialfunksjoner med andre grunntall · Se forklaringen i videoen

Oppgave 13

Hvilken omskriving stemmer?

  1. A: 3ˣ = e opphøyd i x + ln 3
  2. B: 3ˣ = e opphøyd i 3 ln x
  3. C: 3ˣ = e opphøyd i x ln 3
  4. D: 3ˣ = x ln 3
Vis løsning på oppgave 13

3 = e opphøyd i ln 3, så 3ˣ = (e opphøyd i ln 3)ˣ = e opphøyd i x ln 3.

Fasit: C: 3ˣ = e opphøyd i x ln 3

Fra leksjon 4.6 Eksponentialfunksjoner med andre grunntall · Se forklaringen i videoen

Oppgave 14

Deriver.

f(x) = 8√x

  1. A: f′(x) = 4 delt på √x
  2. B: f′(x) = 8
  3. C: f′(x) = 4√x
  4. D: f′(x) = 8 delt på √x
Vis løsning på oppgave 14

8√x = 8x opphøyd i 1⁄2.

Det gir 8 · 1 delt på 2 · x opphøyd i −1⁄2 = 4x opphøyd i −1⁄2, og da er x opphøyd i −1⁄2 = 1 delt på √x. f′(x) = 4 delt på √x.

Fasit: A: f′(x) = 4 delt på √x

Fra leksjon 4.1 Røtter og negative eksponenter · Se forklaringen i videoen

Oppgave 15

Deriver. Svar med potens.

f(x) = ⁴√(x³)

  1. A: f′(x) = 3 delt på 4x opphøyd i −1⁄4
  2. B: f′(x) = 3 delt på 4x opphøyd i 7⁄4
  3. C: f′(x) = 4 delt på 3x opphøyd i −1⁄4
  4. D: f′(x) = 3 delt på 4x opphøyd i 3⁄4
Vis løsning på oppgave 15

⁴√(x³) = x opphøyd i 3⁄4.

3 delt på 4 − 1 = 3 delt på 4 − 4 delt på 4 = −1 delt på 4, så f′(x) = 3 delt på 4x opphøyd i −1⁄4.

Fasit: A: f′(x) = 3 delt på 4x opphøyd i −1⁄4

Fra leksjon 4.1 Røtter og negative eksponenter · Se forklaringen i videoen

Fasit

Vis fasit til alle oppgavene
  1. Oppgave 1: A: x opphøyd i 3⁄2
  2. Oppgave 2: B: f′(x) = 8eˣ
  3. Oppgave 3: C: f′(x) = 3 delt på x
  4. Oppgave 4: 13
  5. Oppgave 5: 0,5
  6. Oppgave 6: A: f′(x) = 4 ln 3 · 3ˣ
  7. Oppgave 7: D: f′(x) = −6 delt på x³
  8. Oppgave 8: 0
  9. Oppgave 9: D: f′(x) = 3eˣ + 6 delt på x − 8x
  10. Oppgave 10: 3,22
  11. Oppgave 11: D: f′(x) = 4 ln 3 · 3 opphøyd i 4x
  12. Oppgave 12: D: f′(x) = 2x delt på x² + 5
  13. Oppgave 13: C: 3ˣ = e opphøyd i x ln 3
  14. Oppgave 14: A: f′(x) = 4 delt på √x
  15. Oppgave 15: A: f′(x) = 3 delt på 4x opphøyd i −1⁄4

Oppgavene hører til leksjonene 4.1–4.6 i modulen Flere derivasjonsregler, som øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R1, og bruk formelarket for R1 når du øver.

Les også

Oppgavene er laget av Sophus med de samme oppgavemalene som i kurset, og løsningene er kontrollert av en regnekontroll. Ser du likevel en feil, si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.