Gjennomsnittlig og momentan vekstfart – forklart steg for steg
Vekstfart sier hvor fort en funksjon endrer seg. Her lærer du å regne ut gjennomsnittlig vekstfart mellom to punkter, og hva momentan vekstfart i ett punkt betyr.
Dette er leksjon 3.1 Gjennomsnittlig og momentan vekstfart i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen
Gjennomsnittlig vekstfart
Gjennomsnittlig vekstfart fra x = a til x = b er endringen i y delt på endringen i x:
f(b) − f(a) delt på b − a
Det er stigningstallet til linja gjennom de to punktene. Den linja kalles en sekant.
Fra sekant til tangent
La f(x) = x². Flytter du det andre punktet nærmere x = 1, blir stigningstallet til sekanten 3, så 2,5, så 2,1. Det nærmer seg 2. Det tallet er den momentane vekstfarten i x = 1, og det er stigningstallet til tangenten.
2² − 1² delt på 2 − 1 = 3
1,5² − 1² delt på 1,5 − 1 = 2,5
1,1² − 1² delt på 1,1 − 1 = 2,1
Eksempler
Eksempel 1: mellom to punkter
f(x) = x². Finn den gjennomsnittlige vekstfarten fra x = 1 til x = 3.
f(1) = 1
f(3) = 9
f(3) − f(1) delt på 3 − 1 = 9 − 1 delt på 2 = 4
Svar: Den gjennomsnittlige vekstfarten er 4.
Eksempel 2: fart
En stein faller s(t) = 5t² meter på t sekunder. Finn gjennomsnittsfarten fra t = 1 til t = 3.
s(3) = 45
s(1) = 5
45 − 5 delt på 3 − 1 = 20
Svar: Gjennomsnittsfarten er 20 m/s.
Fart er vekstfarten til strekningen. Enheten blir meter per sekund, fordi du deler meter på sekunder.
Øv selv: 15 oppgaver i definisjonen av den deriverte med fasit og løsning steg for steg.
Vanlige feil
- Å dele på x-verdien i stedet for endringen i x.
- Å bytte om teller og nevner. Endringen i y står i telleren.
- Å glemme enheten. Vekstfart har enheten til y per enheten til x.
På eksamen
Vekstfart kommer på del 1 og del 2, ofte i en oppgave om fart, temperatur eller befolkning. Skriv formelen med tallene satt inn, og svar med enhet. Spør oppgaven om momentan vekstfart, deriverer du i stedet.
Leksjonen hører til modulen Derivasjon og øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R1, og bruk formelarket for R1 når du øver.
Begreper: vekstfart sekant tangent
Les også
- Definisjonen av den deriverte
- Derivasjonsregler for polynomer – forklart steg for steg
- Tangenter – forklart steg for steg
- Når finnes ikke den deriverte? – forklart steg for steg
- Numerisk derivasjon – forklart steg for steg
- Definisjonen av den deriverte: oppgaver med fasit
- Prøv en gratis oppgave i R1
Mer om matte R1
- Alle modulene i matte R1
- Eksamen i R1: del 1, del 2 og hjelpemidler
- Eksamensguide for R1: oppgavetypene med eksempler
- Formelark for R1
- Begrepene i R1 forklart
- De 10 vanligste feilene i R1
- Temaer i R1 forklart med eksempler
- Oppgaver med fasit i R1, ordnet etter tema
Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.