Hopp til innholdet

Definisjonen av den deriverte: oppgaver med fasit

Matematikk R1 · Vg2, realfagsmatematikk · 15 oppgaver · eksamen: del 1 og del 2

15 oppgaver i definisjonen av den deriverte i R1, med løsning steg for steg og fasit. Prøv selv først, og trykk «Vis løsning» når du vil sjekke svaret. Oppgavene er sortert fra kort til lang løsning.

Lær dette i Sophus: 3.1 Gjennomsnittlig og momentan vekstfart, 3.2 Definisjonen av den deriverte, 3.5 Når finnes ikke den deriverte? i Matematikk R1, med video og øving med nye tall hver gang. Se leksjonen

Lettere oppgaver

Oppgave 1

For f(x) = x² regner du ut stigningstallet til sekanter fra x = 5: til x = 6 gir 11, til x = 5,5 gir 10,5, til x = 5,1 gir 10,1, til x = 5,01 gir 10,01. Hva er den momentane vekstfarten f′(5)?

Vis løsning på oppgave 1

Stigningstallene 11, 10,5, 10,1 og 10,01 nærmer seg 10, så f′(5) = 10.

Fasit: 10

Fra leksjon 3.1 Gjennomsnittlig og momentan vekstfart · Se forklaringen i videoen

Oppgave 2

Hvilken brøk gir den gjennomsnittlige vekstfarten til f fra x = 4 til x = 6?

  1. A: 6 − 4 delt på f(6) − f(4)
  2. B: f(6) − f(4) delt på 6 − 4
  3. C: f(6) − f(4) delt på 6
  4. D: f(6) delt på 6
Vis løsning på oppgave 2

Endringen i y delt på endringen i x: f(6) − f(4) delt på 6 − 4.

Det er stigningstallet til sekanten.

Fasit: B: f(6) − f(4) delt på 6 − 4

Fra leksjon 3.1 Gjennomsnittlig og momentan vekstfart · Se forklaringen i videoen

Oppgave 3

Hva er f′(5)?

f(x) = 3|x − 5|

  1. A: 0
  2. B: −3
  3. C: Finnes ikke
  4. D: 3
Vis løsning på oppgave 3

For x < 5 er stigningstallet −3, for x > 5 er det 3.

Grafen har en knekk, så f′(5) finnes ikke.

Fasit: C: Finnes ikke

Fra leksjon 3.5 Når finnes ikke den deriverte? · Se forklaringen i videoen

Oppgave 4

For f(x) = x² regner du ut stigningstallet til sekanter fra x = 1: til x = 2 gir 3, til x = 1,5 gir 2,5, til x = 1,1 gir 2,1, til x = 1,01 gir 2,01. Hva er den momentane vekstfarten f′(1)?

Vis løsning på oppgave 4

Stigningstallene 3, 2,5, 2,1 og 2,01 nærmer seg 2, så f′(1) = 2.

Fasit: 2

Fra leksjon 3.1 Gjennomsnittlig og momentan vekstfart · Se forklaringen i videoen

Oppgave 5

Regn ut og trekk sammen telleren f(x + h) − f(x).

f(x) = x² − 4x

  1. A: 2xh − 4h
  2. B: 2x + h − 4
  3. C: h² − 4h
  4. D: 2xh + h² − 4h
Vis løsning på oppgave 5

(x + h)² − 4(x + h) − (x² − 4x) = x² + 2xh + h² − 4x − 4h − x² + 4x = 2xh + h² − 4h.

Fasit: D: 2xh + h² − 4h

Fra leksjon 3.2 Definisjonen av den deriverte · Se forklaringen i videoen

Middels vanskelige

Oppgave 6

Hva gjelder for f i x = 0?

f(x) = ∛x

  1. A: Ikke deriverbar: tangenten er loddrett
  2. B: Ikke deriverbar: grafen har en knekk
  3. C: Ikke deriverbar: grafen har et sprang
  4. D: Deriverbar
Vis løsning på oppgave 6

Grafen henger sammen uten knekk, men står rett opp i origo.

Stigningen vokser uten grense, så tangenten er loddrett.

Da finnes ikke den deriverte der.

Fasit: A: Ikke deriverbar: tangenten er loddrett

Fra leksjon 3.5 Når finnes ikke den deriverte? · Se forklaringen i videoen

Oppgave 7

Hvilken påstand stemmer?

  1. A: En funksjon kan være deriverbar uten å være kontinuerlig
  2. B: En funksjon kan være kontinuerlig uten å være deriverbar
  3. C: |x| er ikke kontinuerlig i x = 0
  4. D: Alle kontinuerlige funksjoner er deriverbare
Vis løsning på oppgave 7

|x| er kontinuerlig i x = 0, men har en knekk der, så den er ikke deriverbar.

Kontinuerlig betyr ikke deriverbar.

Fasit: B: En funksjon kan være kontinuerlig uten å være deriverbar

Fra leksjon 3.5 Når finnes ikke den deriverte? · Se forklaringen i videoen

Oppgave 8

Bruk definisjonen av den deriverte til å finne f′(x).

f(x) = 2x² + 3x

  1. A: f′(x) = 3
  2. B: f′(x) = 4x + 3
  3. C: f′(x) = 4x + 2h + 3
  4. D: Finnes ikke
Vis løsning på oppgave 8

Telleren blir 4xh + 2h² + 3h.

Forkort med h: 4x + 2h + 3.

Når h → 0, får du f′(x) = 4x + 3.

Fasit: B: f′(x) = 4x + 3

Fra leksjon 3.2 Definisjonen av den deriverte · Se forklaringen i videoen

Oppgave 9

Bruk definisjonen av den deriverte til å finne f′(x).

f(x) = 2x − 6

Vis løsning på oppgave 9

2(x + h) − 6 − (2x − 6) delt på h = 2h delt på h = 2.

Det er stigningstallet til linjen.

Fasit: 2

Fra leksjon 3.2 Definisjonen av den deriverte · Se forklaringen i videoen

Oppgave 10

Du bruker definisjonen på f(x) = 4x² og har trukket sammen telleren til 8xh + 4h². Hva gjør du nå?

  1. A: Sette h = 0 i brøken med en gang
  2. B: Dele bare 4h² på h, så det står 8xh + 4h
  3. C: Svare at f′(x) = 8xh + 4h²
  4. D: Forkorte med h, så det står 8x + 4h
Vis løsning på oppgave 10

8xh + 4h² delt på h = 8x + 4h.

Når h → 0, får du f′(x) = 8x.

Fasit: D: Forkorte med h, så det står 8x + 4h

Fra leksjon 3.2 Definisjonen av den deriverte · Se forklaringen i videoen

Mer krevende

Oppgave 11

Er f deriverbar i x = 3?

f(x) = x² for x < 3, og f(x) = 5x − 6 for x ≥ 3

  1. A: Ja, fordi grafen henger sammen i x = 3
  2. B: Nei, stigningen er 6 fra venstre og 5 fra høyre
  3. C: Ja, f′(3) = 5
  4. D: Nei, grafen har et sprang i x = 3
Vis løsning på oppgave 11

Begge delene gir 9 i x = 3, så grafen henger sammen.

Fra venstre er stigningen 2x = 6, fra høyre 5.

De er ulike, så grafen har en knekk.

Fasit: B: Nei, stigningen er 6 fra venstre og 5 fra høyre

Fra leksjon 3.5 Når finnes ikke den deriverte? · Se forklaringen i videoen

Oppgave 12

Finn den gjennomsnittlige vekstfarten til f fra x = 2 til x = 6.

f(x) = x² − 2x + 2

Vis løsning på oppgave 12

f(2) = 2 og f(6) = 26.

26 − 2 delt på 6 − 2 = 24 delt på 4 = 6.

Fasit: 6

Fra leksjon 3.1 Gjennomsnittlig og momentan vekstfart · Se forklaringen i videoen

Oppgave 13

En stein faller. Etter t sekunder har den falt s(t) = 5t² meter. Finn gjennomsnittsfarten fra t = 1 til t = 3 sekunder.

Vis løsning på oppgave 13

s(1) = 5 og s(3) = 45.

45 − 5 delt på 3 − 1 = 40 delt på 2 = 20 m/s.

Fasit: 20 m/s

Fra leksjon 3.1 Gjennomsnittlig og momentan vekstfart · Se forklaringen i videoen

Oppgave 14

Finn den gjennomsnittlige vekstfarten til f fra x = 1 til x = 5.

f(x) = x² − 2x − 1

Vis løsning på oppgave 14

f(1) = −2 og f(5) = 14.

14 − (−2) delt på 5 − 1 = 16 delt på 4 = 4.

Fasit: 4

Fra leksjon 3.1 Gjennomsnittlig og momentan vekstfart · Se forklaringen i videoen

Oppgave 15

En stein faller. Etter t sekunder har den falt s(t) = 5t² meter. Finn gjennomsnittsfarten fra t = 2 til t = 5 sekunder.

Vis løsning på oppgave 15

s(2) = 20 og s(5) = 125.

125 − 20 delt på 5 − 2 = 105 delt på 3 = 35 m/s.

Fasit: 35 m/s

Fra leksjon 3.1 Gjennomsnittlig og momentan vekstfart · Se forklaringen i videoen

Fasit

Vis fasit til alle oppgavene
  1. Oppgave 1: 10
  2. Oppgave 2: B: f(6) − f(4) delt på 6 − 4
  3. Oppgave 3: C: Finnes ikke
  4. Oppgave 4: 2
  5. Oppgave 5: D: 2xh + h² − 4h
  6. Oppgave 6: A: Ikke deriverbar: tangenten er loddrett
  7. Oppgave 7: B: En funksjon kan være kontinuerlig uten å være deriverbar
  8. Oppgave 8: B: f′(x) = 4x + 3
  9. Oppgave 9: 2
  10. Oppgave 10: D: Forkorte med h, så det står 8x + 4h
  11. Oppgave 11: B: Nei, stigningen er 6 fra venstre og 5 fra høyre
  12. Oppgave 12: 6
  13. Oppgave 13: 20 m/s
  14. Oppgave 14: 4
  15. Oppgave 15: 35 m/s

Oppgavene hører til leksjonene 3.1–3.5 i modulen Derivasjon, som øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R1, og bruk formelarket for R1 når du øver.

Les også

Oppgavene er laget av Sophus med de samme oppgavemalene som i kurset, og løsningene er kontrollert av en regnekontroll. Ser du likevel en feil, si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.