Derivasjon
Vekstfart og den deriverte: fra gjennomsnittlig vekstfart til definisjonen av den deriverte, regnereglene for polynomer og tangenter.
Leksjonene
3.1 Gjennomsnittlig og momentan vekstfart
Eksamen: del 1 og del 2
Du skal kunne
- Regne ut gjennomsnittlig vekstfart mellom to punkter.
- Forklare momentan vekstfart som stigningstallet til tangenten.
Begreper: vekstfart, sekant, tangent
Vanlige feil
- Deler på x-verdien i stedet for endringen i x.
- Bytter om teller og nevner.
3.2 Definisjonen av den deriverte
Eksamen: del 1 (uten hjelpemidler)
Du skal kunne
- Bruke definisjonen f′(x) = lim (h → 0) f(x + h) − f(x)/h.
- Derivere enkle polynomer fra definisjonen.
Begreper: den deriverte, differansekvotient
Vanlige feil
- Glemmer det doble produktet: (x + h)² = x² + h².
- Setter h = 0 før h er forkortet bort.
3.3 Derivasjonsregler for polynomer
Eksamen: del 1 (uten hjelpemidler)
Du skal kunne
- Derivere potenser, konstanter og summer av ledd.
- Finne f′(a) for en gitt x-verdi.
Begreper: derivasjonsregel, polynom
Vanlige feil
- Deriverer konstanten til 1 i stedet for 0.
- Glemmer å gange med eksponenten: (4x³)′ = 4x².
3.4 Tangenter
Eksamen: del 1 og del 2
Du skal kunne
- Finne likningen for tangenten i et punkt med y − y₁ = a(x − x₁).
- Finne punktet der tangenten har et gitt stigningstall.
Begreper: tangent, stigningstall, ettpunktsformelen
Vanlige feil
- Bruker f(1) som stigningstall.
- Setter x = 1 inn i f′ men glemmer punktets y-verdi.
3.5 Når finnes ikke den deriverte?
Eksamen: del 1 og del 2
Du skal kunne
- Gi eksempler på funksjoner som ikke er deriverbare i et punkt: knekk, sprang og loddrett tangent.
- Begrunne med grenseverdier fra venstre og høyre.
Begreper: deriverbar, knekkpunkt
Vanlige feil
- Tror at en kontinuerlig funksjon alltid er deriverbar.
- Tror f′(0) = 0 fordi grafen har et bunnpunkt der.
3.6 Numerisk derivasjon
Eksamen: del 2 (med hjelpemidler)
Du skal kunne
- Finne en tilnærmet verdi for f′(a) med f(a + h) − f(a)/h for liten h.
- Forklare hvorfor svaret blir bedre når h blir mindre.
Begreper: numerisk derivasjon, tilnærming
Vanlige feil
- Deler på 2,01 i stedet for h.
- Velger h så stor at tilnærmingen blir dårlig.