Tangenter – forklart steg for steg

Matematikk R1 · modul 3 · leksjon 3.4 · eksamen: del 1 og del 2

Tangenten i et punkt er linja som bare så vidt berører grafen der. Her lærer du å finne likningen for tangenten, og å finne punktet der tangenten har et bestemt stigningstall.

Dette er leksjon 3.4 Tangenter i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Det du trenger

En linje er bestemt av ett punkt og et stigningstall. Punktet er (x₁, f(x₁)). Stigningstallet er f′(x₁). Så bruker du ettpunktsformelen:

y − y₁ = a(x − x₁)

1. Regn ut f(x₁). Det er y-verdien i punktet.
2. Deriver, og regn ut f′(x₁). Det er stigningstallet.
3. Sett inn i ettpunktsformelen, og skriv likningen på formen y = ax + b.

Gitt stigningstall

Spør oppgaven hvor tangenten har stigningstall 2, setter du f′(x) = 2 og løser for x. Så finner du y-verdien med f(x).

Eksempler

Eksempel 1: tangenten i x = 1

f(x) = x² − 3x. Finn likningen for tangenten i x = 1.

f(1) = 1 − 3 = −2
f′(x) = 2x − 3
f′(1) = −1
f(1) + f′(1)(x − 1) = −x − 1

Svar: Tangenten er y = −x − 1.

Ettpunktsformelen gir y − (−2) = −1(x − 1). Når du ganger ut og flytter over, får du y = −x − 1.

Eksempel 2: stigningstall 2

f(x) = x² − 4x. I hvilket punkt har tangenten stigningstall 2?

f′(x) = 2x − 4
2x − 4 = 2
x = 3
f(3) = −3

Svar: I punktet (3, −3).

Øv selv: 15 oppgaver i derivasjonsregler og tangenter med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å bruke f(1) som stigningstall. Stigningstallet er f′(1).
• Å regne ut f′(1), men glemme y-verdien i punktet.
• Å svare med bare x-verdien når oppgaven spør etter punktet.

På eksamen

Tangenter kommer på del 1 og del 2. Skriv punktet og stigningstallet på hver sin linje før du setter inn i ettpunktsformelen. Fra våren 2027 tegner du tangenten for hånd hvis oppgaven ber om det, så regn ut to punkter på linja.

Leksjonen hører til modulen Derivasjon og øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R1, og bruk formelarket for R1 når du øver.

Begreper: tangent stigningstall ettpunktsformelen

Les også

• Gjennomsnittlig og momentan vekstfart – forklart steg for steg
• Definisjonen av den deriverte
• Derivasjonsregler for polynomer – forklart steg for steg
• Når finnes ikke den deriverte? – forklart steg for steg
• Numerisk derivasjon – forklart steg for steg
• Derivasjonsregler og tangenter: oppgaver med fasit
• Prøv en gratis oppgave i R1

Mer om matte R1

• Alle modulene i matte R1
• Eksamen i R1: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for R1: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for R1
• Begrepene i R1 forklart
• De 10 vanligste feilene i R1
• Temaer i R1 forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i R1, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.