Når finnes ikke den deriverte? – forklart steg for steg

Matematikk R1 · modul 3 · leksjon 3.5 · eksamen: del 1 og del 2

En funksjon kan være kontinuerlig og likevel ikke deriverbar i et punkt. Her lærer du de tre tilfellene der den deriverte ikke finnes, og hvordan du begrunner det.

Dette er leksjon 3.5 Når finnes ikke den deriverte? i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Tre tilfeller

1. Knekk: stigningstallet fra venstre og fra høyre er ulike.
2. Sprang: grafen hopper. Da er funksjonen ikke kontinuerlig, og ikke deriverbar.
3. Loddrett tangent: stigningstallet blir uendelig stort.

Venstre og høyre

Se på en funksjon som er x² for x ≤ 1 og 4x − 3 for x > 1. Begge delene gir 1 i x = 1, så grafen henger sammen. Men stigningstallet fra venstre er 2 · 1 = 2, og fra høyre er det 4. Grafen har en knekk, og f′(1) finnes ikke.

1² = 1
4 · 1 − 3 = 1
2 · 1 = 2

Eksempler

Eksempel 1: absoluttverdien

Forklar hvorfor f(x) = |x| ikke er deriverbar i x = 0.

−(−0,01) delt på −0,01 = −1
0,01 delt på 0,01 = 1

Svar: Stigningstallet er −1 fra venstre og 1 fra høyre. De er ulike, så f′(0) finnes ikke.

Linjene er |h| − |0| delt på h for h = −0,01 og h = 0,01. For x < 0 er |x| = −x, med stigningstall −1. For x > 0 er |x| = x, med stigningstall 1. Grafen har en knekk i origo.

Eksempel 2: loddrett tangent

Vis at tredjeroten av x har loddrett tangent i x = 0.

0,001 opphøyd i ^1⁄3 delt på 0,001 = 100
0,000001 opphøyd i ^1⁄3 delt på 0,000001 = 10 000

Svar: Stigningstallet vokser uten grense når x nærmer seg 0. Tangenten er loddrett, og f′(0) finnes ikke.

Øv selv: 15 oppgaver i definisjonen av den deriverte med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å tro at en kontinuerlig funksjon alltid er deriverbar. |x| er kontinuerlig, men har en knekk.
• Å tro at f′(0) = 0 fordi grafen til |x| har et bunnpunkt der.
• Å bare se på grafen uten å begrunne. Regn ut stigningstallet fra venstre og fra høyre.

På eksamen

Oppgaver om deriverbarhet kommer ofte med en delt funksjon, der du skal avgjøre om den er kontinuerlig og deriverbar i skjøten. Sjekk først at delene gir samme verdi, og så at de deriverte gir samme stigningstall. Skriv konklusjonen med en setning.

Leksjonen hører til modulen Derivasjon og øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R1, og bruk formelarket for R1 når du øver.

Begreper: deriverbar knekkpunkt

Les også

• Gjennomsnittlig og momentan vekstfart – forklart steg for steg
• Definisjonen av den deriverte
• Derivasjonsregler for polynomer – forklart steg for steg
• Tangenter – forklart steg for steg
• Numerisk derivasjon – forklart steg for steg
• Definisjonen av den deriverte: oppgaver med fasit
• Prøv en gratis oppgave i R1

Mer om matte R1

• Alle modulene i matte R1
• Eksamen i R1: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for R1: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for R1
• Begrepene i R1 forklart
• De 10 vanligste feilene i R1
• Temaer i R1 forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i R1, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.