Temaer › Matematikk R1

Definisjonen av den deriverte

Matematikk R1 · Vg2, realfagsmatematikk · eksamen: del 1

Den deriverte er definert som en grenseverdi: stigningstallet til sekanten når de to punktene kommer uendelig nær hverandre. På eksamen kan du bli bedt om å vise en derivasjonsregel med definisjonen.

Lær dette i Sophus: 3.2 Definisjonen av den deriverte i Matematikk R1, med video og øving. Se leksjonen

Definisjonen

f′(x) = lim_h→0 f(x + h) − f(x)h

Brøken er stigningstallet til sekanten mellom x og x + h. Når h går mot 0, blir sekanten til tangenten.

Oppskrift

1. Skriv opp f(x + h) og gang ut.
2. Trekk fra f(x). Alle ledd uten h skal forsvinne.
3. Del på h (sett h utenfor og forkort).
4. La h gå mot 0.

Eksempler

Eksempel 1: f(x) = x²

(x + h)² − x²h = x² + 2xh + h² − x²h = h(2x + h)h = 2x + h

Når h → 0, får vi f′(x) = 2x.

Eksempel 2: f(x) = 3x² − x

f(x + h) − f(x) = 3(x + h)² − (x + h) − 3x² + x = 6xh + 3h² − h

6xh + 3h² − hh = 6x + 3h − 1  →  6x − 1

Eksempel 3: f(x) = 1/x

1x + h − 1xh = x − (x + h)h · x(x + h) = −1x(x + h)  →  −1x²

Dette stemmer med potensregelen: (x⁻¹)′ = −x⁻².

Vanlige feil

• Å glemme det doble produktet: (x + h)² er x² + 2xh + h², ikke x² + h².
• Å sette h = 0 før h er forkortet bort. Da får du 00.
• Å glemme parentesen rundt f(x) når du trekker fra.

På eksamen

Derivasjon fra definisjonen kommer på del 1 i R1 og 1T, ofte som «bruk definisjonen til å vise at f′(x) = 2x». Sensor ser etter at du skriver lim foran hvert steg til h er borte. Oppgaven kan også be deg forklare hvorfor definisjonen gir stigningstallet til tangenten.

I kurset hører temaet til leksjon 3.2 i modulen Derivasjon, som øves til del 1. Les mer om eksamen i R1, og bruk formelarket for R1 når du øver.

Spørsmål og svar

Les også

• Grenseverdier: hva lim betyr og hvordan du regner
• Derivasjonsregler for polynomer · Matematikk 1T
• Gjennomsnittlig vekstfart: formel og eksempler · Matematikk 1T
• Kjerneregelen: derivasjon av sammensatte funksjoner
• Formelark for R1
• Eksamen i R1
• Alle temaene

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den. Alt innhold i Sophus skal være riktig.