Derivasjonsregler og tangenter: oppgaver med fasit
15 oppgaver i derivasjonsregler og tangenter i R1, med løsning steg for steg og fasit. Prøv selv først, og trykk «Vis løsning» når du vil sjekke svaret. Oppgavene er sortert fra kort til lang løsning.
Lær dette i Sophus: 3.3 Derivasjonsregler for polynomer, 3.4 Tangenter, 3.6 Numerisk derivasjon i Matematikk R1, med video og øving med nye tall hver gang. Se leksjonen
Lettere oppgaver
Oppgave 1
Deriver.
f(x) = 9x³
- A: f′(x) = 27x²
- B: f′(x) = 9x²
- C: f′(x) = 3x²
- D: f′(x) = 27x³
Vis løsning på oppgave 1
Eksponenten 3 flyttes ned foran og blir én mindre: 9 · 3x² = 27x².
Fasit: A: f′(x) = 27x²
Fra leksjon 3.3 Derivasjonsregler for polynomer · Se forklaringen i videoen
Oppgave 2
Du vil finne en tilnærmet verdi for f′(a) uten å derivere. Hvilket valg gir som regel den beste tilnærmingen?
- A: Symmetrisk brøk med h = 1
- B: Brøk med f(a + h) − f(a) og h = 1
- C: Brøk med f(a + h) − f(a) og h = 0,1
- D: Symmetrisk brøk med h = 0,001
Vis løsning på oppgave 2
Jo mindre h er, jo nærmere kommer sekanten tangenten.
Den symmetriske brøken, med ett punkt på hver side, treffer som regel bedre.
Fasit: D: Symmetrisk brøk med h = 0,001
Fra leksjon 3.6 Numerisk derivasjon · Se forklaringen i videoen
Oppgave 3
Deriver.
f(x) = 8x³
- A: f′(x) = 3x²
- B: f′(x) = 24x³
- C: f′(x) = 24x²
- D: f′(x) = 8x²
Vis løsning på oppgave 3
Eksponenten 3 flyttes ned foran og blir én mindre: 8 · 3x² = 24x².
Fasit: C: f′(x) = 24x²
Fra leksjon 3.3 Derivasjonsregler for polynomer · Se forklaringen i videoen
Oppgave 4
Deriver.
f(x) = 3x − 9
- A: f′(x) = 3 − 9
- B: f′(x) = 4
- C: f′(x) = 3
- D: f′(x) = 3x
Vis løsning på oppgave 4
(3x)′ = 3 og (−9)′ = 0, så f′(x) = 3.
Fasit: C: f′(x) = 3
Fra leksjon 3.3 Derivasjonsregler for polynomer · Se forklaringen i videoen
Oppgave 5
Finn stigningstallet til tangenten til f i x = −1.
f(x) = x³ + 3x
Vis løsning på oppgave 5
f′(x) = 3x² + 3, så f′(−1) = 3 · (−1)² + 3 = 6.
Fasit: 6
Middels vanskelige
Oppgave 6
Finn f′(1).
f(x) = x³ − x² + 4x + 1
Vis løsning på oppgave 6
f′(x) = 3x² − 2x + 4.
Sett inn x = 1: f′(1) = 5.
Fasit: 5
Fra leksjon 3.3 Derivasjonsregler for polynomer · Se forklaringen i videoen
Oppgave 7
Finn f′(−2).
f(x) = x³ + 2x + 5
Vis løsning på oppgave 7
f′(x) = 3x² + 2.
Sett inn x = −2: f′(−2) = 14.
Fasit: 14
Fra leksjon 3.3 Derivasjonsregler for polynomer · Se forklaringen i videoen
Oppgave 8
Deriver.
f(x) = 4x³ − x² − 5x − 4
- A: f′(x) = 4x² − x − 5
- B: f′(x) = 12x² − 2x − 5 − 4
- C: f′(x) = 12x² − 2x − 5
- D: f′(x) = 12x³ − 2x² − 5x
Vis løsning på oppgave 8
Ledd for ledd: (4x³)′ = 12x², (−x²)′ = −2x, (−5x)′ = −5 og (−4)′ = 0. f′(x) = 12x² − 2x − 5.
Fasit: C: f′(x) = 12x² − 2x − 5
Fra leksjon 3.3 Derivasjonsregler for polynomer · Se forklaringen i videoen
Oppgave 9
Finn likningen for tangenten til f i x = 1.
f(x) = x² + 3x − 2
- A: y = 2x
- B: y = 5x − 7
- C: y = 5x − 3
- D: y = 5x − 5
Vis løsning på oppgave 9
f(1) = 2 og f′(x) = 2x + 3, så f′(1) = 5. y − 2 = 5(x − 1) gir y = 5x − 3.
Fasit: C: y = 5x − 3
Oppgave 10
I hvilket punkt har tangenten til f(x) = x² + x stigningstall −3? Svar med x-verdien.
Vis løsning på oppgave 10
f′(x) = 2x + 1 = −3 gir 2x = −4, så x = −2.
Punktet er (−2, 2).
Fasit: −2
Mer krevende
Oppgave 11
f(x) = x². Finn en tilnærmet verdi for f′(6) med brøken f(6 + h) − f(6) delt på h og h = 0,1. Regn ut brøken nøyaktig.
Vis løsning på oppgave 11
f(6,1) = 37,21 og f(6) = 36.
37,21 − 36 delt på 0,1 = 1,21 delt på 0,1 = 12,1.
Fasit: 12,1
Fra leksjon 3.6 Numerisk derivasjon · Se forklaringen i videoen
Oppgave 12
f(x) = x³. Finn en tilnærmet verdi for f′(3) med den symmetriske brøken f(3 + h) − f(3 − h) delt på 2h og h = 0,1. Regn ut brøken nøyaktig.
Vis løsning på oppgave 12
f(3,1) = 29,791 og f(2,9) = 24,389.
29,791 − 24,389 delt på 0,2 = 5,402 delt på 0,2 = 27,01.
Fasit: 27,01
Fra leksjon 3.6 Numerisk derivasjon · Se forklaringen i videoen
Oppgave 13
Deriver.
f(x) = −3x³ − 5x² − 5x + 8
- A: f′(x) = −3x² − 5x − 5
- B: f′(x) = −9x² − 10x − 5
- C: f′(x) = −9x³ − 10x² − 5x
- D: f′(x) = −9x² − 10x − 5 + 8
Vis løsning på oppgave 13
Ledd for ledd: (−3x³)′ = −9x², (−5x²)′ = −10x, (−5x)′ = −5 og (8)′ = 0. f′(x) = −9x² − 10x − 5.
Fasit: B: f′(x) = −9x² − 10x − 5
Fra leksjon 3.3 Derivasjonsregler for polynomer · Se forklaringen i videoen
Oppgave 14
Tangenten til f(x) = x³ i x = 1 har likningen y = kx + m. Finn m.
Vis løsning på oppgave 14
f(1) = 1 og f′(1) = 3 · 1² = 3. y − 1 = 3(x − 1) gir y = 3x − 2, så m = −2.
Fasit: −2
Oppgave 15
f(x) = x³. Finn en tilnærmet verdi for f′(3) med f(3 + h) − f(3) delt på h og h = 0,01. Svar med to desimaler.
Vis løsning på oppgave 15
f(3,01) = 27,270901 og f(3) = 27.
27,270901 − 27 delt på 0,01 = 0,270901 delt på 0,01 = 27,0901 ≈ 27,09.
Fasit: 27,09
Fra leksjon 3.6 Numerisk derivasjon · Se forklaringen i videoen
Fasit
Vis fasit til alle oppgavene
- Oppgave 1: A: f′(x) = 27x²
- Oppgave 2: D: Symmetrisk brøk med h = 0,001
- Oppgave 3: C: f′(x) = 24x²
- Oppgave 4: C: f′(x) = 3
- Oppgave 5: 6
- Oppgave 6: 5
- Oppgave 7: 14
- Oppgave 8: C: f′(x) = 12x² − 2x − 5
- Oppgave 9: C: y = 5x − 3
- Oppgave 10: −2
- Oppgave 11: 12,1
- Oppgave 12: 27,01
- Oppgave 13: B: f′(x) = −9x² − 10x − 5
- Oppgave 14: −2
- Oppgave 15: 27,09
Oppgavene hører til leksjonene 3.3–3.6 i modulen Derivasjon, som øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R1, og bruk formelarket for R1 når du øver.
Les også
- Tangenter – forklart steg for steg
- Numerisk derivasjon – forklart steg for steg
- Flere derivasjonsregler: oppgaver med fasit
- Definisjonen av den deriverte: oppgaver med fasit
- Alle oppgavene i R1
- Begrepene i R1 forklart
Oppgavene er laget av Sophus med de samme oppgavemalene som i kurset, og løsningene er kontrollert av en regnekontroll. Ser du likevel en feil, si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.