Lineær eller eksponentiell modell? – forklart steg for steg
Øker noe med det samme tallet hver gang, er modellen lineær. Øker det med den samme prosenten, er den eksponentiell. Her lærer du å se forskjellen i en tabell, uten datamaskin.
Dette er leksjon 1.6 Lineær eller eksponentiell modell? i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen
Fast tillegg eller fast prosent
Ola og Kari har 10 000 kr hver. Ola legger inn 1 000 kr hvert år. Det gir en lineær modell: f(x) = 1 000x + 10 000. Kari har pengene på en konto med 8 % rente. Det gir en eksponentiell modell: g(x) = 10 000 · 1,08ˣ.
10 000 · 1,08 = 10 800
10 800 · 1,08 = 11 664
11 664 · 1,08 = 12 597,12
Differanser og forhold
For Ola er differansen 1 000 hvert år. For Kari er differansene ulike, men forholdene er like:
- Like differanser (hvor mye tallene øker fra år til år) betyr lineær vekst.
- Like forhold (hvert tall delt på det forrige) betyr eksponentiell vekst. Forholdet er vekstfaktoren.
10 800 − 10 000 = 800
11 664 − 10 800 = 864
11 664 delt på 10 800 = 1,08
Hvem vinner på lang sikt?
Ola ligger foran i starten. Men den eksponentielle veksten tar igjen, fordi renten regnes av en stadig større sum. Etter 10 år har Kari mest:
10 000 · 1,08¹⁰ ≈ 21 589,25
1 000 · 10 + 10 000 = 20 000
Eksempler
Eksempel 1: bilen som taper seg
En bil er verdt 300 000 kr, 255 000 kr og 216 750 kr etter 0, 1 og 2 år. Er nedgangen lineær eller eksponentiell?
300 000 − 255 000 = 45 000
255 000 − 216 750 = 38 250
255 000 delt på 300 000 = 0,85
216 750 delt på 255 000 = 0,85
Svar: Differansene er ulike, men forholdene er like. Nedgangen er eksponentiell: f(x) = 300 000 · 0,85ˣ.
Eksempel 2: en modell fra en tabell
Antall elbiler i en kommune var 1 200, 1 500, 1 870 og 2 350 de fire første årene. Finn en modell, og vurder hva den sier 10 år etter det første året.
1 500 delt på 1 200 = 1,25
1 870 delt på 1 500 ≈ 1,247
2 350 delt på 1 870 ≈ 1,257
1 200 · 1,25¹⁰ ≈ 11 176
Svar: Forholdene er omtrent 1,25, så en god modell er f(x) = 1 200 · 1,25ˣ. 10 år etter det første året gir den omtrent 11 176 elbiler.
Veksten kan ikke fortsette for alltid, for det finnes bare et visst antall biler i kommunen. Bruk modellen helst nær dataene.
Øv selv: 15 oppgaver i eksponentiell vekst med fasit og løsning steg for steg.
Vanlige feil
- Å se at verdien synker, og velge en lineær modell med en gang. Den lineære modellen for bilen gir 300 000 − 2 · 45 000 = 210 000 kr etter 2 år, men bilen var verdt 216 750 kr.
- Å bruke modellen langt utenfor dataene. Den lineære modellen sier at bilen er verdt −15 000 kr etter 7 år, og det gir ikke mening.
- Å sjekke bare differansene. Sjekk både differanser og forhold før du velger modell.
På eksamen
På eksamen får du ofte en tabell eller en ferdig modell. Fra våren 2027 er del 2 uten datamaskin, så du lager ikke regresjon i GeoGebra. Du viser med differanser og forhold hvilken modell som passer, bruker modellen på kalkulatoren og skriver hvor lenge den kan gjelde.
Leksjonen hører til modulen Prosent og vekstfaktor og øves til del 2. Les mer om eksamen i 2P, og bruk formelarket for 2P når du øver.
Begreper: lineær modell eksponentiell modell regresjon
Les også
- Prosent og prosentpoeng – forklart steg for steg
- Vekstfaktor – forklart steg for steg
- Finne den opprinnelige verdien – forklart steg for steg
- Gjentatt prosentvis endring – forklart steg for steg
- Eksponentiell vekst og eksponentielle modeller
- Vekst år for år og Python – forklart steg for steg
- Eksponentiell vekst: oppgaver med fasit
- Lineær eller eksponentiell vekst: slik ser du forskjellen · blogg
- Prøv en gratis oppgave i 2P
Mer om matte 2P
- Alle modulene i matte 2P
- Eksamen i 2P: del 1, del 2 og hjelpemidler
- Eksamensguide for 2P: oppgavetypene med eksempler
- Formelark for 2P
- Begrepene i 2P forklart
- De 10 vanligste feilene i 2P
- Temaer i 2P forklart med eksempler
- Oppgaver med fasit i 2P, ordnet etter tema
Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.