Lineær eller eksponentiell vekst: slik ser du forskjellen

Mange oppgaver i 1P, 2P og 1T starter med samme spørsmål: vokser dette lineært eller eksponentielt? Svaret avgjør hvilken modell du skal bruke. Her er forskjellen forklart med enkle eksempler, og en metode som virker på tabeller uten digitale verktøy.

Lineær vekst: det samme tallet legges til

Du har 500 kr og sparer 200 kr hver måned. Etter hver måned har du 200 kr mer enn før:

500 → 700 → 900 → 1 100

Økningen er like stor hver gang. Det er lineær vekst, og grafen er en rett linje. Modellen er f(x) = ax + b, der a er økningen per måned og b er startverdien. Her er f(x) = 200x + 500. Se også stigningstall og konstantledd.

Eksponentiell vekst: det samme tallet ganges med

Du setter 1 000 kr i banken med 5 % rente per år. Hvert år ganges beløpet med vekstfaktoren 1,05:

1 000 → 1 050 → 1 102,50 → 1 157,63

Økningen blir større for hvert år, fordi du også får rente av renten. Det er eksponentiell vekst, og grafen krummer oppover. Modellen er f(x) = b · a^x, der a er vekstfaktoren og b er startverdien. Her er f(x) = 1 000 · 1,05^x.

Eksponentiell modell gjelder også når noe minker med en fast prosent. En bil til 300 000 kr som taper 15 % av verdien hvert år, er verdt 300 000 · 0,85⁴ ≈ 156 600 kr etter fire år.

Slik kjenner du dem igjen i en tekst

• Lineær: «øker med 200 kr per måned», «synker med 3 cm per år», «fast pris per kilometer».
• Eksponentiell: «øker med 5 % per år», «halveres hver time», «taper 15 % av verdien hvert år».

Et fast antall per tidsenhet gir lineær vekst. En fast prosent gir eksponentiell vekst.

Slik sjekker du en tabell

Får du en tabell, regner du både differansen og forholdet mellom verdiene som følger etter hverandre.

• Tabell A: differansene er 6, 6 og 6. Samme differanse betyr lineær vekst: y = 6x + 40.
• Tabell B: differansene er 16, 19,2 og 23,04, så den er ikke lineær. Forholdene er 96 delt på 80 = 1,2, 115,2 delt på 96 = 1,2 og 138,24 delt på 115,2 = 1,2. Samme forhold betyr eksponentiell vekst: y = 80 · 1,2^x.

Finn vekstfaktoren fra to verdier

Et beløp vokser fra 2 000 kr til 2 420 kr på 2 år, med samme prosent hvert år. Da er

2 000 · a² = 2 420  gir  a² = 1,21  og  a = √1,21 = 1,1

Vekstfaktoren er 1,1, så beløpet vokser med 10 % per år.

Eksponentiell vekst tar alltid igjen lineær

To spareplaner starter begge med 1 000 kr. Plan A øker med 200 kr per måned. Plan B øker med 10 % per måned. Med en verditabell og kalkulatoren kan du sammenligne:

Plan A ligger først lenge, men i måned 15 har plan B gått forbi. Etter det øker forskjellen raskt. Slik er det alltid: eksponentiell vekst tar til slutt igjen lineær vekst, uansett hvor stor den lineære økningen er.

Fra våren 2027 er del 2 uten datamaskin. Da er en slik verditabell, laget med kalkulatoren, den vanlige måten å finne når to modeller blir like.

Vanlige feil

• Legge til prosenten hvert år i stedet for å gange med vekstfaktoren. 5 % i tre år er ikke 15 %, men 1,05³ ≈ 1,158, altså omtrent 15,8 %.
• Bare sjekke differansen. Er differansene ikke like, må du også sjekke forholdet.
• Bruke 0,15 som vekstfaktor når noe minker med 15 %. Vekstfaktoren er 1 − 0,15 = 0,85.

Les mer om vekstfaktor og eksponentielle modeller.

Temaer forklart med eksempler

• Eksponentiell vekst og eksponentielle modeller
• Prisindeks og konsumprisindeks (KPI)
• Kroneverdi: hva kronen er verdt
• Reallønn og nominell lønn
• Alle temaene

Mer om faget

• Lineær eller eksponentiell modell? – forklart steg for steg
• Prosent og vekstfaktor: modulen i matte 2P
• Oppgaver med fasit i 2P, ordnet etter tema
• Eksamen i 2P: del 1, del 2 og hjelpemidler

Ser du en feil? Si fra, så retter vi den. Alt innhold i Sophus skal være riktig.