Eksponentiell vekst og eksponentielle modeller
Eksponentiell vekst betyr at noe øker med samme prosent hver periode. Da vokser det mer og mer for hvert år, i motsetning til lineær vekst, der økningen er like stor hver gang.
Lær dette i Sophus: 1.5 Eksponentielle modeller i Matematikk 2P, med video og øving. Se leksjonen
Modellen
f(x) = a · bx
a er startverdien (verdien når x = 0), b er vekstfaktoren per periode, og x er antall perioder. Øker noe med 2 % per år, er b = 1,02. Synker det med 15 % per år, er b = 0,85.
Lineær eller eksponentiell?
Lineær vekst: samme tall legges til hver periode (y = ax + b). Eksponentiell vekst: samme prosent legges til, altså ganges med samme vekstfaktor. I en tabell sjekker du det ved å se på differansene (lineær) eller forholdene (eksponentiell) mellom verdier som følger etter hverandre.
Uten datamaskin
Fra våren 2027 er del 2 uten datamaskin. Når du skal finne når noe passerer en verdi, prøver du deg fram med kalkulatoren: regn ut bx for noen verdier av x til du finner det første som er stort nok.
Eksempler
Eksempel 1: befolkningsvekst
En by har 12 000 innbyggere og vokser med 2 % per år. Hvor mange er det om 10 år?
f(10) = 12 000 · 1,0210 ≈ 14 628
Modellen gir omtrent 14 628 innbyggere.
Eksempel 2: verdifall
En bil koster 380 000 kr og taper 15 % av verdien hvert år. Hva er den verdt etter 3 år?
380 000 · 0,853 ≈ 233 368
Bilen er verdt omtrent 233 368 kr.
Eksempel 3: når er beløpet doblet?
Et beløp vokser med 7 % per år. Når er det doblet? Vi ser etter når 1,07x passerer 2:
1,0710 ≈ 1,967 · 1,0711 ≈ 2,105
Beløpet er doblet i løpet av det 11. året.
Vanlige feil
- Å bruke 1,2 som vekstfaktor for 2 % vekst. Riktig er 1,02.
- Å legge til samme tall hvert år når veksten er i prosent.
- Å tro at 15 % nedgang i 3 år er 45 % nedgang. 0,853 ≈ 0,614, altså 38,6 % nedgang.
- Å bruke modellen langt utenfor tiden dataene gjelder for, uten å si at det er usikkert.
På eksamen
Eksponentielle modeller kommer på del 2 i 2P og 1P, ofte med et spørsmål om å tolke a og b, regne ut en verdi og finne når noe passerer en grense. Fra våren 2027 er det uten datamaskin: du regner potensene på en enkel vitenskapelig kalkulator, finner tiden ved prøving og tegner grafen for hånd fra en verditabell. Skriv alltid hva modellen betyr i situasjonen.
I kurset hører temaet til leksjon 1.5 i modulen Prosent og vekstfaktor, som øves til del 2. Les mer om eksamen i 2P, og bruk formelarket for 2P når du øver.
Spørsmål og svar
Hva er eksponentiell vekst?
Vekst der noe øker med samme prosent hver periode, slik at det ganges med samme vekstfaktor hver gang. Modellen er f(x) = a · b^x.
Hva er forskjellen på lineær og eksponentiell vekst?
Lineær vekst legger til samme tall hver periode. Eksponentiell vekst ganger med samme vekstfaktor, altså samme prosent.
Hvordan finner jeg når noe er doblet uten datamaskin?
Prøv deg fram med kalkulatoren: regn ut vekstfaktoren opphøyd i 1, 2, 3 … til svaret passerer 2.
Les også
- Vekstfaktor: hva det er og hvordan du regner · Matematikk 1P
- Renters rente: sparing med formel
- Prosentvis endring: formel og eksempler · Matematikk 1P
- Logistisk vekst og bæreevne · Matematikk S2
- Formelark for 2P
- Eksamen i 2P
- Alle temaene
Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den. Alt innhold i Sophus skal være riktig.