Hopp til innholdet

Bestemte integraler: oppgaver med fasit

Matematikk S2 · Vg3, samfunnsfaglig matematikk · 15 oppgaver · eksamen: del 1 og del 2

15 oppgaver i bestemte integraler i S2, med løsning steg for steg og fasit. Prøv selv først, og trykk «Vis løsning» når du vil sjekke svaret. Oppgavene er sortert fra kort til lang løsning.

Lær dette i Sophus: 5.3 Det bestemte integralet som areal, 5.4 Analysens fundamentalteorem i Matematikk S2, med video og øving med nye tall hver gang. Se leksjonen

Lettere oppgaver

Oppgave 1

Hva skjer når du bruker flere og smalere rektangler?

  1. A: Summen blir alltid større
  2. B: Summen går mot null
  3. C: Summen kommer nærmere det bestemte integralet
  4. D: Summen endrer seg ikke
Vis løsning på oppgave 1

Lar vi antallet gå mot uendelig, nærmer summen seg integralet.

Fasit: C: Summen kommer nærmere det bestemte integralet

Fra leksjon 5.3 Det bestemte integralet som areal · Se forklaringen i videoen

Oppgave 2

Hva er ∫ₐᵇ f(x) dx når F er en antiderivert til f?

  1. A: F(b) − F(a)
  2. B: F(b) + F(a)
  3. C: f(b) − f(a)
  4. D: F(a) − F(b)
Vis løsning på oppgave 2

Analysens fundamentalteorem: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a).

Fasit: A: F(b) − F(a)

Fra leksjon 5.4 Analysens fundamentalteorem · Se forklaringen i videoen

Oppgave 3

Du deler intervallet fra 1 til 3 i 5 like rektangler. Hvor bredt er hvert rektangel?

Vis løsning på oppgave 3

Bredde = 3 − 1 delt på 5 = 0,4.

Fasit: 0,4

Fra leksjon 5.3 Det bestemte integralet som areal · Se forklaringen i videoen

Oppgave 4

Grafen til f(x) = x − 3 ligger under x-aksen fra x = 0 til x = 3. Hva er ∫₀³ (x − 3) dx?

Vis løsning på oppgave 4

Området er en trekant med areal 3 · 3 delt på 2 = 4,5.

Under x-aksen er integralet −4,5.

Fasit: −4,5

Fra leksjon 5.3 Det bestemte integralet som areal · Se forklaringen i videoen

Oppgave 5

Bruk fire rektangler med høyde fra venstre endepunkt til å anslå arealet under f(x) = x + 1 fra x = 0 til x = 2.

Vis løsning på oppgave 5

Høyder 1; 1,5; 2; 2,5.

Sum: 0,5 · 7 = 3,5.

Fasit: 3,5

Fra leksjon 5.3 Det bestemte integralet som areal · Se forklaringen i videoen

Middels vanskelige

Oppgave 6

Finn arealet under grafen til f(x) = 3x² fra x = 0 til x = 2.

Vis løsning på oppgave 6

∫₀² 3x² dx = [x³]₀² = 8.

Fasit: 8

Fra leksjon 5.4 Analysens fundamentalteorem · Se forklaringen i videoen

Oppgave 7

Regn ut ∫₀¹ eˣ dx. Rund av til to desimaler.

Vis løsning på oppgave 7

[eˣ]₀¹ = e − 1 ≈ 1,72.

Fasit: 1,72

Fra leksjon 5.4 Analysens fundamentalteorem · Se forklaringen i videoen

Oppgave 8

Regn ut ∫₀¹ (4x³ + 2) dx.

Vis løsning på oppgave 8

[x⁴ + 2x]₀¹ = (1 + 2) − 0 = 3.

Fasit: 3

Fra leksjon 5.4 Analysens fundamentalteorem · Se forklaringen i videoen

Oppgave 9

Du deler intervallet fra 1 til 4 i 8 like rektangler. Hvor bredt er hvert rektangel?

Vis løsning på oppgave 9

Bredde = 4 − 1 delt på 8 = 0,375.

Fasit: 0,375

Fra leksjon 5.3 Det bestemte integralet som areal · Se forklaringen i videoen

Oppgave 10

Grafen til f(x) = x − 4 ligger under x-aksen fra x = 0 til x = 4. Hva er ∫₀⁴ (x − 4) dx?

Vis løsning på oppgave 10

Området er en trekant med areal 4 · 4 delt på 2 = 8.

Under x-aksen er integralet −8.

Fasit: −8

Fra leksjon 5.3 Det bestemte integralet som areal · Se forklaringen i videoen

Mer krevende

Oppgave 11

Finn arealet under grafen til f(x) = 3x² fra x = 0 til x = 3.

Vis løsning på oppgave 11

∫₀³ 3x² dx = [x³]₀³ = 27.

Fasit: 27

Fra leksjon 5.4 Analysens fundamentalteorem · Se forklaringen i videoen

Oppgave 12

Bruk fire rektangler med høyde fra venstre endepunkt til å anslå arealet under f(x) = x² + 3 fra x = 0 til x = 2.

Vis løsning på oppgave 12

Bredde 0,5.

Høyder 3; 3,25; 4; 5,25.

Sum: 0,5 · 15,5 = 7,75.

Fasit: 7,75

Fra leksjon 5.3 Det bestemte integralet som areal · Se forklaringen i videoen

Oppgave 13

Bruk fire rektangler med høyde fra venstre endepunkt til å anslå arealet under f(x) = x² + 2 fra x = 0 til x = 2.

Vis løsning på oppgave 13

Bredde 0,5.

Høyder 2; 2,25; 3; 4,25.

Sum: 0,5 · 11,5 = 5,75.

Fasit: 5,75

Fra leksjon 5.3 Det bestemte integralet som areal · Se forklaringen i videoen

Oppgave 14

Regn ut ∫₀¹ (2x + 3) dx.

Vis løsning på oppgave 14

F(x) = x² + 3x.

F(1) − F(0) = 4 − 0 = 4.

Fasit: 4

Fra leksjon 5.4 Analysens fundamentalteorem · Se forklaringen i videoen

Oppgave 15

Regn ut ∫₂⁴ (2x + 1) dx.

Vis løsning på oppgave 15

F(x) = x² + x.

F(4) − F(2) = 20 − 6 = 14.

Fasit: 14

Fra leksjon 5.4 Analysens fundamentalteorem · Se forklaringen i videoen

Fasit

Vis fasit til alle oppgavene
  1. Oppgave 1: C: Summen kommer nærmere det bestemte integralet
  2. Oppgave 2: A: F(b) − F(a)
  3. Oppgave 3: 0,4
  4. Oppgave 4: −4,5
  5. Oppgave 5: 3,5
  6. Oppgave 6: 8
  7. Oppgave 7: 1,72
  8. Oppgave 8: 3
  9. Oppgave 9: 0,375
  10. Oppgave 10: −8
  11. Oppgave 11: 27
  12. Oppgave 12: 7,75
  13. Oppgave 13: 5,75
  14. Oppgave 14: 4
  15. Oppgave 15: 14

Oppgavene hører til leksjonene 5.3–5.4 i modulen Integrasjon, som øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i S2, og bruk formelarket for S2 når du øver.

Les også

Oppgavene er laget av Sophus med de samme oppgavemalene som i kurset, og løsningene er kontrollert av en regnekontroll. Ser du likevel en feil, si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.