Hopp til innholdet

Areal mellom grafer: oppgaver med fasit

Matematikk S2 · Vg3, samfunnsfaglig matematikk · 15 oppgaver · eksamen: del 1 og del 2

15 oppgaver i areal mellom grafer i S2, med løsning steg for steg og fasit. Prøv selv først, og trykk «Vis løsning» når du vil sjekke svaret. Oppgavene er sortert fra kort til lang løsning.

Lær dette i Sophus: 5.5 Areal mellom grafer, 5.6 Integral i økonomi og praksis i Matematikk S2, med video og øving med nye tall hver gang. Se leksjonen

Lettere oppgaver

Oppgave 1

Hvordan regner du ut arealet mellom to grafer?

  1. A: ∫(øverste − nederste) dx mellom skjæringspunktene
  2. B: ∫(nederste − øverste) dx
  3. C: ∫(øverste + nederste) dx
  4. D: ∫ øverste dx
Vis løsning på oppgave 1

Høyden på hver stripe er øverste minus nederste.

Fasit: A: ∫(øverste − nederste) dx mellom skjæringspunktene

Fra leksjon 5.5 Areal mellom grafer · Se forklaringen i videoen

Oppgave 2

Hva gir ∫ₐᵇ K'(x) dx?

  1. A: Hvor mye kostnaden øker fra a til b enheter
  2. B: Grensekostnaden i b
  3. C: Kostnaden per enhet
  4. D: Kostnaden for b enheter
Vis løsning på oppgave 2

∫ₐᵇ K'(x) dx = K(b) − K(a): økningen i kostnad.

Fasit: A: Hvor mye kostnaden øker fra a til b enheter

Fra leksjon 5.6 Integral i økonomi og praksis · Se forklaringen i videoen

Oppgave 3

f(x) = 6 og g(x) = x² − 1. Hvilken graf er øverst i x = 3?

  1. A: g er øverst
  2. B: De er like høye
  3. C: f er øverst
Vis løsning på oppgave 3

f(3) = 6 og g(3) = 8, så g er øverst.

Fasit: A: g er øverst

Fra leksjon 5.5 Areal mellom grafer · Se forklaringen i videoen

Oppgave 4

Vann renner inn i en tank med v(t) = 30 − 4t liter per minutt. Hvor mye vann renner inn de 5 første minuttene?

Vis løsning på oppgave 4

∫₀⁵ (30 − 4t) dt = [30t − 2t²]₀⁵ = 100 liter.

Fasit: 100

Fra leksjon 5.6 Integral i økonomi og praksis · Se forklaringen i videoen

Oppgave 5

En bestand vokser med N'(t) = 2t individer per år. Hvor mye vokser den de 3 første årene?

Vis løsning på oppgave 5

∫₀³ 2t dt = [t²]₀³ = 9.

Fasit: 9

Fra leksjon 5.6 Integral i økonomi og praksis · Se forklaringen i videoen

Middels vanskelige

Oppgave 6

Grensekostnaden er K'(x) = 0,1x + 50. Hvor mye øker kostnaden fra 200 til 300 enheter?

Vis løsning på oppgave 6

[0,05x² + 50x] fra 200 til 300 = 19 500 − 12 000 = 7 500 kr.

Fasit: 7 500

Fra leksjon 5.6 Integral i økonomi og praksis · Se forklaringen i videoen

Oppgave 7

f(x) = 5 og g(x) = x² − 1. Hvilken graf er øverst i x = 1?

  1. A: De er like høye
  2. B: g er øverst
  3. C: f er øverst
Vis løsning på oppgave 7

f(1) = 5 og g(1) = 0, så f er øverst.

Fasit: C: f er øverst

Fra leksjon 5.5 Areal mellom grafer · Se forklaringen i videoen

Oppgave 8

Vann renner inn i en tank med v(t) = 30 − 2t liter per minutt. Hvor mye vann renner inn de 5 første minuttene?

Vis løsning på oppgave 8

∫₀⁵ (30 − 2t) dt = [30t − t²]₀⁵ = 125 liter.

Fasit: 125

Fra leksjon 5.6 Integral i økonomi og praksis · Se forklaringen i videoen

Oppgave 9

Grensekostnaden er K'(x) = 0,04x + 20. Hvor mye øker kostnaden når produksjonen øker fra 100 til 200 enheter?

Vis løsning på oppgave 9

∫ (0,04x + 20) dx fra 100 til 200 = [0,02x² + 20x] fra 100 til 200 = 4 800 − 2 200 = 2 600 kr.

Fasit: 2 600

Fra leksjon 5.6 Integral i økonomi og praksis · Se forklaringen i videoen

Oppgave 10

Grensekostnaden er K'(x) = 0,1x + 30. Hvor mye øker kostnaden når produksjonen øker fra 200 til 300 enheter?

Vis løsning på oppgave 10

∫ (0,1x + 30) dx fra 200 til 300 = [0,05x² + 30x] fra 200 til 300 = 13 500 − 8 000 = 5 500 kr.

Fasit: 5 500

Fra leksjon 5.6 Integral i økonomi og praksis · Se forklaringen i videoen

Mer krevende

Oppgave 11

Finn arealet mellom grafene til f(x) = 2x og g(x) = x². Rund av til tre desimaler.

Vis løsning på oppgave 11

x² = 2x gir x = 0 og x = 2. ∫₀² (2x − x²) dx = 8 delt på 6 ≈ 1,333.

Fasit: 1,333

Fra leksjon 5.5 Areal mellom grafer · Se forklaringen i videoen

Oppgave 12

Finn arealet mellom grafene til f(x) = 3x og g(x) = x².

Vis løsning på oppgave 12

x² = 3x gir x = 0 og x = 3. ∫₀³ (3x − x²) dx = 27 delt på 6 = 4,5.

Fasit: 4,5

Fra leksjon 5.5 Areal mellom grafer · Se forklaringen i videoen

Oppgave 13

Finn arealet mellom f(x) = 2x og g(x) = x². Rund av til to desimaler.

Vis løsning på oppgave 13

x² = 2x gir x = 0 og x = 2. ∫₀² (2x − x²) dx = 4 − 8 delt på 3 = 4 delt på 3 ≈ 1,33.

Fasit: 1,33

Fra leksjon 5.5 Areal mellom grafer · Se forklaringen i videoen

Oppgave 14

Finn arealet mellom y = 1 og y = x². Rund av til to desimaler.

Vis løsning på oppgave 14

x² = 1 gir x = −1 og x = 1.

Mellom dem ligger y = 1 øverst. ∫ (1 − x²) dx fra −1 til 1 = [x − x³ delt på 3] = (1 − 1 delt på 3) − (−1 + 1 delt på 3) ≈ 1,33.

Fasit: 1,33

Fra leksjon 5.5 Areal mellom grafer · Se forklaringen i videoen

Oppgave 15

Finn arealet mellom y = 4 og y = x². Rund av til to desimaler.

Vis løsning på oppgave 15

x² = 4 gir x = −2 og x = 2.

Mellom dem ligger y = 4 øverst. ∫ (4 − x²) dx fra −2 til 2 = [4x − x³ delt på 3] = (8 − 8 delt på 3) − (−8 + 8 delt på 3) ≈ 10,67.

Fasit: 10,67

Fra leksjon 5.5 Areal mellom grafer · Se forklaringen i videoen

Fasit

Vis fasit til alle oppgavene
  1. Oppgave 1: A: ∫(øverste − nederste) dx mellom skjæringspunktene
  2. Oppgave 2: A: Hvor mye kostnaden øker fra a til b enheter
  3. Oppgave 3: A: g er øverst
  4. Oppgave 4: 100
  5. Oppgave 5: 9
  6. Oppgave 6: 7 500
  7. Oppgave 7: C: f er øverst
  8. Oppgave 8: 125
  9. Oppgave 9: 2 600
  10. Oppgave 10: 5 500
  11. Oppgave 11: 1,333
  12. Oppgave 12: 4,5
  13. Oppgave 13: 1,33
  14. Oppgave 14: 1,33
  15. Oppgave 15: 10,67

Oppgavene hører til leksjonene 5.5–5.6 i modulen Integrasjon, som øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i S2, og bruk formelarket for S2 når du øver.

Les også

Oppgavene er laget av Sophus med de samme oppgavemalene som i kurset, og løsningene er kontrollert av en regnekontroll. Ser du likevel en feil, si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.