Drøfting av funksjoner med eˣ og ln x – forklart steg for steg

Matematikk S2 · modul 3 · leksjon 3.5 · eksamen: del 1 og del 2

I S2 skal du drøfte funksjoner med eˣ og ln x. Her lærer du å finne topp- og bunnpunkter med den deriverte og en fortegnslinje, og å bruke at eˣ alltid er positiv.

Dette er leksjon 3.5 Drøfting av funksjoner med eˣ og ln x i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Tre nøkler

1. eˣ er alltid positiv. Den kan aldri bli null eller negativ.
2. Der f'(x) = 0, kan grafen ha et topp- eller bunnpunkt.
3. En fortegnslinje for f'(x) viser om det er et toppunkt eller et bunnpunkt.

Faktoriser den deriverte

Med produktregelen får du ofte en sum der e-leddet står i begge ledd. Sett det utenfor en parentes. Siden e-faktoren aldri er null, er det bare parentesen som kan gi f'(x) = 0.

Husk at ln x bare er definert for x > 0. Skriv det i drøftingen.

Eksempler

Eksempel 1: toppunkt med e

f(x) = x · e opphøyd i ^−x. Finn toppunktet.

f'(x) = e opphøyd i ^−x − x · e opphøyd i ^−x
f'(x) = e opphøyd i ^−x(1 − x)
f(1) = e opphøyd i ⁻¹ = 1 delt på e ≈ 0,37

Svar: Toppunktet er (1, 1 delt på e), omtrent (1, 0,37).

e opphøyd i ^−x er alltid positiv, så f'(x) = 0 bare når 1 − x = 0, altså x = 1. f' er positiv før x = 1 og negativ etter. Grafen stiger og så synker.

Eksempel 2: bunnpunkt med ln

g(x) = x − ln x for x > 0. Finn bunnpunktet.

g'(x) = 1 − 1 delt på x
g(1) = 1 − ln 1 = 1

Svar: Bunnpunktet er (1, 1).

1 − 1 delt på x = 0 gir x = 1. g' er negativ for x mellom 0 og 1 og positiv for x > 1. ln 1 er 0.

Øv selv: 15 oppgaver i produktregelen og drøfting med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å sette e opphøyd i ^−x = 0 og lete etter flere løsninger. e opphøyd i noe er aldri null.
• Å glemme minustegnet fra kjernen. Den deriverte av e opphøyd i ^−x er −e opphøyd i ^−x.
• Å glemme fortegnslinjen. f'(x) = 0 alene sier ikke om det er topp eller bunn.

På eksamen

Drøfting med eˣ og ln x kommer på del 1 og del 2. Skriv definisjonsmengden, den deriverte faktorisert, fortegnslinjen og punktet med begge koordinater. Fra våren 2027 regner du verdier som 1 delt på e på en enkel vitenskapelig kalkulator på del 2.

Leksjonen hører til modulen Derivasjon og øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i S2, og bruk formelarket for S2 når du øver.

Begreper: drøfting ekstremalpunkt

Les også

• eˣ og ln x – forklart steg for steg
• Kjerneregelen – forklart steg for steg
• Produktregelen og brøkregelen – forklart steg for steg
• Den andrederiverte og vendepunkter – forklart steg for steg
• Produktregelen og drøfting: oppgaver med fasit
• Prøv en gratis oppgave i S2

Mer om matte S2

• Alle modulene i matte S2
• Eksamen i S2: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for S2: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for S2
• Begrepene i S2 forklart
• De 10 vanligste feilene i S2
• Temaer i S2 forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i S2, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.