Kjerneregelen – forklart steg for steg

Matematikk S2 · modul 3 · leksjon 3.2 · eksamen: del 1 og del 2

Mange funksjoner har en funksjon inni en annen, som (x² + 1)³. Da bruker du kjerneregelen. Her lærer du å finne kjernen og derivere i tre steg.

Dette er leksjon 3.2 Kjerneregelen i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

En funksjon inni en funksjon

I (x² + 1)³ er det to lag. Inni parentesen står x² + 1. Det er kjernen, som vi kaller u. Utenpå står «opphøyd i tredje». Det er den ytre funksjonen.

Tre steg

Kort sagt: ytre derivert ganger kjernens derivert.

1. Finn kjernen u, og deriver den.
2. Deriver den ytre funksjonen som om kjernen var en vanlig x. Kjernen står urørt inni.
3. Gang med den deriverte av kjernen.

Med e og ln

Kjerneregelen virker også for e og ln. eᵘ deriveres til eᵘ · u', og ln u deriveres til 1 delt på u · u'. Den deriverte av e opphøyd i ^−2x er derfor −2e opphøyd i ^−2x.

Eksempler

Eksempel 1: en parentes i tredje

Deriver f(x) = (x² + 1)³.

f'(x) = 3(x² + 1)² · 2x
f'(x) = 6x(x² + 1)²

Svar: f'(x) = 6x(x² + 1)²

Kjernen er u = x² + 1, og u' = 2x. Den ytre funksjonen u³ blir 3u². Til slutt ganger du med 2x.

Eksempel 2: ln med en kjerne

Deriver g(x) = ln(x² + 4).

g'(x) = 1 delt på x² + 4 · 2x
g'(x) = 2x delt på x² + 4

Svar: g'(x) = 2x delt på x² + 4

Kjernen er x² + 4, og den deriverte av kjernen er 2x. ln u blir 1 delt på u.

Øv selv: 15 oppgaver i derivasjon av eˣ og ln x med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å glemme å gange med den deriverte av kjernen. 3(x² + 1)² alene er ikke riktig. Du må gange med 2x.
• Å derivere kjernen inni parentesen også. Kjernen skal stå urørt i den ytre deriverte.
• Å glemme minustegnet i kjernen i e opphøyd i ^−x. Den deriverte er −e opphøyd i ^−x.

På eksamen

Kjerneregelen kommer på del 1, ofte sammen med eˣ og ln x eller som en del av produktregelen. Skriv kjernen og den deriverte av kjernen på en egen linje. Da blir det lettere å se om du har husket å gange med den.

Leksjonen hører til modulen Derivasjon og øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i S2, og bruk formelarket for S2 når du øver.

Begreper: kjerne sammensatt funksjon

Les også

• eˣ og ln x – forklart steg for steg
• Produktregelen og brøkregelen – forklart steg for steg
• Den andrederiverte og vendepunkter – forklart steg for steg
• Drøfting av funksjoner med eˣ og ln x – forklart steg for steg
• Derivasjon av eˣ og ln x: oppgaver med fasit
• Prøv en gratis oppgave i S2

Mer om matte S2

• Alle modulene i matte S2
• Eksamen i S2: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for S2: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for S2
• Begrepene i S2 forklart
• De 10 vanligste feilene i S2
• Temaer i S2 forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i S2, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.