Produktregelen og brøkregelen – forklart steg for steg

Matematikk S2 · modul 3 · leksjon 3.3 · eksamen: del 1 og del 2

Når to funksjoner er ganget eller delt, trenger du produktregelen eller brøkregelen. Her lærer du begge, og hvorfor det lønner seg å faktorisere svaret.

Dette er leksjon 3.3 Produktregelen og brøkregelen i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Reglene

1. Produktregelen: (u · v)' = u'v + uv'.
2. Brøkregelen: (u delt på v)' = u'v − uv' delt på v². Rekkefølgen i telleren er viktig.
3. Faktoriser svaret når du kan.

Hvorfor faktorisere?

Ofte skal du videre finne hvor den deriverte er null. Står svaret som et produkt, kan du se på hver faktor for seg. En faktor med e er aldri null, så bare den andre faktoren kan gi nullpunkter.

Eksempler

Eksempel 1: produktregelen

Deriver f(x) = x · e opphøyd i ^2x.

f'(x) = 1 · e opphøyd i ^2x + x · 2e opphøyd i ^2x
f'(x) = e opphøyd i ^2x(1 + 2x)

Svar: f'(x) = e opphøyd i ^2x(1 + 2x)

u = x og u' = 1. v = e opphøyd i ^2x, og med kjerneregelen er v' = 2e opphøyd i ^2x. Til slutt setter du e opphøyd i ^2x utenfor en parentes.

Eksempel 2: brøkregelen

Deriver f(x) = x delt på x + 1.

f'(x) = 1 · (x + 1) − x · 1 delt på (x + 1)²
f'(x) = 1 delt på (x + 1)²

Svar: f'(x) = 1 delt på (x + 1)²

u = x og v = x + 1, så både u' og v' er 1. I telleren blir x + 1 − x lik 1.

Øv selv: 15 oppgaver i produktregelen og drøfting med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å derivere hver faktor for seg og gange. (x · e opphøyd i ^2x)' er ikke 1 · 2e opphøyd i ^2x. Produktregelen har to ledd.
• Å glemme kjerneregelen på e opphøyd i ^2x. Den deriverte er 2e opphøyd i ^2x, ikke e opphøyd i ^2x.
• Å bytte rekkefølgen i telleren i brøkregelen. Det gir feil fortegn.

På eksamen

Produktregelen og brøkregelen kommer på del 1, ofte i en drøfting der du skal finne topp- og bunnpunkter. Skriv u, u', v og v' først. Faktoriser svaret, så er det lettere å lage fortegnslinje.

Leksjonen hører til modulen Derivasjon og øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i S2, og bruk formelarket for S2 når du øver.

Begreper: produktregel brøkregel

Les også

• eˣ og ln x – forklart steg for steg
• Kjerneregelen – forklart steg for steg
• Den andrederiverte og vendepunkter – forklart steg for steg
• Drøfting av funksjoner med eˣ og ln x – forklart steg for steg
• Produktregelen og drøfting: oppgaver med fasit
• Prøv en gratis oppgave i S2

Mer om matte S2

• Alle modulene i matte S2
• Eksamen i S2: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for S2: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for S2
• Begrepene i S2 forklart
• De 10 vanligste feilene i S2
• Temaer i S2 forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i S2, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.