eˣ og ln x – forklart steg for steg

Matematikk S2 · modul 3 · leksjon 3.1 · eksamen: del 1, uten hjelpemidler

eˣ og ln x er to av de viktigste funksjonene i S2. Her lærer du de to nye derivasjonsreglene, og hvordan du bruker dem sammen med det du kan fra før.

Dette er leksjon 3.1 eˣ og ln x i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Tallet e

Tallet e er omtrent 2,718. Det dukker opp i vekst og renter. Funksjonen eˣ har en spesiell egenskap: stigningstallet i hvert punkt er lik funksjonsverdien. Derfor er eˣ sin egen deriverte.

ln x er den motsatte funksjonen av eˣ. Den deriverte av ln x er 1 delt på x.

e ≈ 2,718

Reglene

Summer deriverer du ledd for ledd, og x² blir 2x som før.

1. (eˣ)' = eˣ
2. (ln x)' = 1 delt på x
3. Et tall foran funksjonen blir stående: (k · f)' = k · f'.

Eksempler

Eksempel 1: ledd for ledd

Deriver f(x) = 4eˣ − 3 ln x + x².

f'(x) = 4eˣ − 3 delt på x + 2x

Svar: f'(x) = 4eˣ − 3 delt på x + 2x

4eˣ blir 4eˣ. 3 ln x blir 3 · 1 delt på x, altså 3 delt på x. x² blir 2x.

Eksempel 2: stigningstall i et punkt

La f(x) = eˣ + ln x. Hva er stigningstallet til grafen der x = 1?

f'(x) = eˣ + 1 delt på x
f'(1) = e + 1 ≈ 3,72

Svar: Stigningstallet er e + 1, omtrent 3,72.

Deriver først, og sett så inn x = 1. Da blir eˣ lik e, og 1 delt på x blir 1.

Øv selv: 15 oppgaver i derivasjon av eˣ og ln x med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å behandle eˣ som en potens og skrive x · eˣ opphøyd i ⁻¹. Potensregelen gjelder når x står nede, som i x². I eˣ står x i eksponenten.
• Å skrive 1 delt på ln x som den deriverte av ln x. Den deriverte er 1 delt på x.
• Å sette inn x-verdien før du deriverer. Deriver først, sett inn etterpå.

På eksamen

Derivasjon av eˣ og ln x kommer på del 1, ofte som «deriver funksjonen» eller som første del av en drøfting. Skriv den deriverte ledd for ledd. Husk at ln x bare er definert for x > 0.

Leksjonen hører til modulen Derivasjon og øves til del 1, uten hjelpemidler. Les mer om eksamen i S2, og bruk formelarket for S2 når du øver.

Begreper: eksponentialfunksjon naturlig logaritme tallet e

Les også

• Kjerneregelen – forklart steg for steg
• Produktregelen og brøkregelen – forklart steg for steg
• Den andrederiverte og vendepunkter – forklart steg for steg
• Drøfting av funksjoner med eˣ og ln x – forklart steg for steg
• Derivasjon av eˣ og ln x: oppgaver med fasit
• Prøv en gratis oppgave i S2

Mer om matte S2

• Alle modulene i matte S2
• Eksamen i S2: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for S2: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for S2
• Begrepene i S2 forklart
• De 10 vanligste feilene i S2
• Temaer i S2 forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i S2, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.