Den andrederiverte og vendepunkter – forklart steg for steg
Den andrederiverte forteller hvordan stigningstallet endrer seg. Her lærer du å bruke f''(x) til å finne hvor grafen krummer opp, hvor den krummer ned, og hvor den skifter.
Dette er leksjon 3.4 Den andrederiverte og vendepunkter i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen
Krummer opp og ned
f''(x) er den deriverte av den deriverte. Der stigningstallet øker, krummer grafen opp, som en skål. Der stigningstallet minker, krummer grafen ned, som en bakketopp.
- f''(x) > 0: grafen krummer opp.
- f''(x) < 0: grafen krummer ned.
- Vendepunkt: f''(x) = 0, og f'' skifter fortegn.
Vendepunkt eller ekstremalpunkt?
f'(x) = 0 gir topp- og bunnpunkter. f''(x) = 0 gir mulige vendepunkter. Bland ikke de to.
Eksempler
Eksempel 1: finn vendepunktet
f(x) = x³ − 3x² + 2. Finn vendepunktet.
f'(x) = 3x² − 6x
f''(x) = 6x − 6
f(1) = 1 − 3 + 2 = 0
Svar: Vendepunktet er (1, 0).
6x − 6 = 0 gir x = 1. For x = 0 er f'' negativ, og for x = 2 er den positiv. Den skifter fortegn, så det er et vendepunkt.
Eksempel 2: hvor krummer grafen?
Hvor krummer grafen til f(x) = x³ − 3x² + 2 opp, og hvor krummer den ned?
6 · 0 − 6 = −6
6 · 2 − 6 = 6
Svar: Grafen krummer ned for x < 1 og opp for x > 1.
f''(x) = 6x − 6 er negativ til venstre for 1 og positiv til høyre.
Øv selv: 15 oppgaver i produktregelen og drøfting med fasit og løsning steg for steg.
Vanlige feil
- Å sette f'(x) = 0 for å finne vendepunktet. Det gir x = 0 og x = 2, som er topp- og bunnpunktet.
- Å glemme å sjekke at f'' skifter fortegn. Er f'' null uten å skifte fortegn, er det ikke et vendepunkt.
- Å svare bare med x-verdien. Et punkt har både x og y, så regn ut f(1) også.
På eksamen
Vendepunkter kommer på del 1 og del 2, ofte som en del av en drøfting. Fra våren 2027 tegner du grafen for hånd på del 2, så marker vendepunktet og vis hvor grafen krummer opp og ned. Lag en fortegnslinje for f''.
Leksjonen hører til modulen Derivasjon og øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i S2, og bruk formelarket for S2 når du øver.
Begreper: andrederivert vendepunkt krumning
Les også
- eˣ og ln x – forklart steg for steg
- Kjerneregelen – forklart steg for steg
- Produktregelen og brøkregelen – forklart steg for steg
- Drøfting av funksjoner med eˣ og ln x – forklart steg for steg
- Produktregelen og drøfting: oppgaver med fasit
- Prøv en gratis oppgave i S2
Mer om matte S2
- Alle modulene i matte S2
- Eksamen i S2: del 1, del 2 og hjelpemidler
- Eksamensguide for S2: oppgavetypene med eksempler
- Formelark for S2
- Begrepene i S2 forklart
- De 10 vanligste feilene i S2
- Temaer i S2 forklart med eksempler
- Oppgaver med fasit i S2, ordnet etter tema
Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.