Hopp til innholdet

Produktregelen og drøfting: oppgaver med fasit

Matematikk S2 · Vg3, samfunnsfaglig matematikk · 15 oppgaver · eksamen: del 1 og del 2

15 oppgaver i produktregelen og drøfting i S2, med løsning steg for steg og fasit. Prøv selv først, og trykk «Vis løsning» når du vil sjekke svaret. Oppgavene er sortert fra kort til lang løsning.

Lær dette i Sophus: 3.3 Produktregelen og brøkregelen, 3.4 Den andrederiverte og vendepunkter, 3.5 Drøfting av funksjoner med eˣ og ln x i Matematikk S2, med video og øving med nye tall hver gang. Se leksjonen

Lettere oppgaver

Oppgave 1

f(x) = x³ − 3x² + 2, med f''(x) = 6x − 6. Krummer grafen opp eller ned i x = 2?

  1. A: Opp, fordi f''(x) > 0
  2. B: Ned, fordi f''(x) < 0
  3. C: Opp, fordi f'(x) > 0
Vis løsning på oppgave 1

f''(2) = 6.

Fasit: A: Opp, fordi f''(x) > 0

Fra leksjon 3.4 Den andrederiverte og vendepunkter · Se forklaringen i videoen

Oppgave 2

f'(x) = eˣ(x − 3). Hvorfor er x = 3 den eneste løsningen av f'(x) = 0?

  1. A: eˣ er alltid positiv og kan ikke være 0
  2. B: x − 3 og eˣ er begge 0 i x = 3
  3. C: eˣ = 0 når x = 0
  4. D: eˣ er negativ for x < 0
Vis løsning på oppgave 2

eˣ > 0 for alle x, så produktet er 0 bare når x − 3 = 0.

Fasit: A: eˣ er alltid positiv og kan ikke være 0

Fra leksjon 3.5 Drøfting av funksjoner med eˣ og ln x · Se forklaringen i videoen

Oppgave 3

f(x) = x³ − 5x². Hva er f''(x)?

  1. A: 6x − 5
  2. B: 3x − 10
  3. C: 6x − 10
  4. D: 3x² − 10x
Vis løsning på oppgave 3

f'(x) = 3x² − 10x, f''(x) = 6x − 10.

Fasit: C: 6x − 10

Fra leksjon 3.4 Den andrederiverte og vendepunkter · Se forklaringen i videoen

Oppgave 4

f(x) = x³ − 6x² + 3, med vendepunkt i x = 2. Finn y-koordinaten til vendepunktet.

Vis løsning på oppgave 4

f(2) = 8 − 24 + 3 = −13.

Fasit: −13

Fra leksjon 3.4 Den andrederiverte og vendepunkter · Se forklaringen i videoen

Oppgave 5

Deriver f(x) = x² · ln x.

  1. A: x(ln x + 1)
  2. B: 2x ln x
  3. C: 2x · 1 delt på x
  4. D: x(2 ln x + 1)
Vis løsning på oppgave 5

f'(x) = 2x ln x + x² · 1 delt på x = 2x ln x + x = x(2 ln x + 1).

Fasit: D: x(2 ln x + 1)

Fra leksjon 3.3 Produktregelen og brøkregelen · Se forklaringen i videoen

Middels vanskelige

Oppgave 6

f(x) = x³ − 9x² − 1. Finn x-koordinaten til vendepunktet.

Vis løsning på oppgave 6

f''(x) = 6x − 18 = 0 gir x = 3.

Fasit: 3

Fra leksjon 3.4 Den andrederiverte og vendepunkter · Se forklaringen i videoen

Oppgave 7

f(x) = x · e opphøyd i −x. Finn x-koordinaten til toppunktet.

Vis løsning på oppgave 7

f'(x) = e opphøyd i −x(1 − x). e opphøyd i −x > 0, så 1 − x = 0 gir x = 1.

Fasit: 1

Fra leksjon 3.5 Drøfting av funksjoner med eˣ og ln x · Se forklaringen i videoen

Oppgave 8

f(x) = (x − 5)eˣ. Finn x-koordinaten til bunnpunktet.

Vis løsning på oppgave 8

f'(x) = eˣ + (x − 5)eˣ = eˣ(x − 4). eˣ > 0, så x = 4.

Fasit: 4

Fra leksjon 3.5 Drøfting av funksjoner med eˣ og ln x · Se forklaringen i videoen

Oppgave 9

g(x) = x − 4 ln x, x > 0. Finn x-koordinaten til bunnpunktet.

Vis løsning på oppgave 9

g'(x) = 1 − 4 delt på x = 0 gir x = 4.

Fasit: 4

Fra leksjon 3.5 Drøfting av funksjoner med eˣ og ln x · Se forklaringen i videoen

Oppgave 10

Deriver f(x) = x delt på x + 2.

  1. A: −2 delt på (x + 2)²
  2. B: 1
  3. C: 2 delt på (x + 2)²
  4. D: 1 delt på (x + 2)²
Vis løsning på oppgave 10

u = x, v = x + 2. f'(x) = 1 · (x + 2) − x · 1 delt på (x + 2)² = 2 delt på (x + 2)².

Fasit: C: 2 delt på (x + 2)²

Fra leksjon 3.3 Produktregelen og brøkregelen · Se forklaringen i videoen

Mer krevende

Oppgave 11

f(x) = x · eˣ. Finn f'(1). Rund av til to desimaler.

Vis løsning på oppgave 11

f'(x) = eˣ + x · eˣ = eˣ(1 + x). f'(1) = 2e ≈ 5,44.

Fasit: 5,44

Fra leksjon 3.3 Produktregelen og brøkregelen · Se forklaringen i videoen

Oppgave 12

f(x) = (x − 2)eˣ. Finn x-koordinaten til bunnpunktet.

Vis løsning på oppgave 12

f'(x) = eˣ + (x − 2)eˣ = eˣ(x − 1) = 0 gir x = 1.

Fasit: 1

Fra leksjon 3.5 Drøfting av funksjoner med eˣ og ln x · Se forklaringen i videoen

Oppgave 13

Deriver f(x) = x² · eˣ.

  1. A: xeˣ(2 + x)
  2. B: 2xeˣ
  3. C: x²eˣ
  4. D: 2x · eˣ⁻¹
Vis løsning på oppgave 13

u = x², u' = 2x, v = v' = eˣ. f'(x) = 2xeˣ + x²eˣ.

Fasit: A: xeˣ(2 + x)

Fra leksjon 3.3 Produktregelen og brøkregelen · Se forklaringen i videoen

Oppgave 14

f(x) = x³ + 3x² − 4. Finn vendepunktet.

  1. A: (−1, −2)
  2. B: (0, −4)
  3. C: (−1, 0)
  4. D: (1, 0)
Vis løsning på oppgave 14

f''(x) = 6x + 6 = 0 gir x = −1. f(−1) = −1 + 3 − 4 = −2.

Fasit: A: (−1, −2)

Fra leksjon 3.4 Den andrederiverte og vendepunkter · Se forklaringen i videoen

Oppgave 15

Deriver f(x) = x · e opphøyd i 3x.

  1. A: e opphøyd i 3x(1 + x)
  2. B: e opphøyd i 3x(1 + 3x)
  3. C: x · 3e opphøyd i 3x
  4. D: 3e opphøyd i 3x
Vis løsning på oppgave 15

u = x, u' = 1, v = e opphøyd i 3x, v' = 3e opphøyd i 3x. f'(x) = e opphøyd i 3x + 3x · e opphøyd i 3x = e opphøyd i 3x(1 + 3x).

Fasit: B: e opphøyd i 3x(1 + 3x)

Fra leksjon 3.3 Produktregelen og brøkregelen · Se forklaringen i videoen

Fasit

Vis fasit til alle oppgavene
  1. Oppgave 1: A: Opp, fordi f''(x) > 0
  2. Oppgave 2: A: eˣ er alltid positiv og kan ikke være 0
  3. Oppgave 3: C: 6x − 10
  4. Oppgave 4: −13
  5. Oppgave 5: D: x(2 ln x + 1)
  6. Oppgave 6: 3
  7. Oppgave 7: 1
  8. Oppgave 8: 4
  9. Oppgave 9: 4
  10. Oppgave 10: C: 2 delt på (x + 2)²
  11. Oppgave 11: 5,44
  12. Oppgave 12: 1
  13. Oppgave 13: A: xeˣ(2 + x)
  14. Oppgave 14: A: (−1, −2)
  15. Oppgave 15: B: e opphøyd i 3x(1 + 3x)

Oppgavene hører til leksjonene 3.3–3.5 i modulen Derivasjon, som øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i S2, og bruk formelarket for S2 når du øver.

Les også

Oppgavene er laget av Sophus med de samme oppgavemalene som i kurset, og løsningene er kontrollert av en regnekontroll. Ser du likevel en feil, si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.