Integrasjon ved substitusjon: oppgaver med fasit
15 oppgaver i integrasjon ved substitusjon i R2, med løsning steg for steg og fasit. Prøv selv først, og trykk «Vis løsning» når du vil sjekke svaret. Oppgavene er sortert fra kort til lang løsning.
Lær dette i Sophus: 6.1 Integrasjon ved substitusjon, 6.2 Substitusjon i bestemte integraler i Matematikk R2, med video og øving med nye tall hver gang. Se leksjonen
Lettere oppgaver
Oppgave 1
Hvilken u passer for substitusjon i ∫2x(x² − 1)³ dx?
- A: u = 2x
- B: u = x − 1
- C: u = x³ + 1
- D: u = x² − 1
Vis løsning på oppgave 1
Kjernen er x² − 1, og den deriverte står som en faktor. u = x² − 1.
Fasit: D: u = x² − 1
Fra leksjon 6.1 Integrasjon ved substitusjon · Se forklaringen i videoen
Oppgave 2
Hvilken u passer for substitusjon i ∫2x delt på x² + 4 dx?
- A: u = 2x
- B: u = x² + 4
- C: u = x³ + 1
- D: u = x + 4
Vis løsning på oppgave 2
Kjernen er x² + 4, og den deriverte står som en faktor. u = x² + 4.
Fasit: B: u = x² + 4
Fra leksjon 6.1 Integrasjon ved substitusjon · Se forklaringen i videoen
Oppgave 3
Hvilken u passer for substitusjon i ∫2x · e opphøyd i x² dx?
- A: u = 2x
- B: u = x²
- C: u = sin x
- D: u = x³ + 1
Vis løsning på oppgave 3
Kjernen er x², og den deriverte står som en faktor. u = x².
Fasit: B: u = x²
Fra leksjon 6.1 Integrasjon ved substitusjon · Se forklaringen i videoen
Oppgave 4
Finn ∫2x · e opphøyd i x² dx.
- A: 2x · e opphøyd i x² + C
- B: e opphøyd i x² + C
- C: eᵘ + C
- D: x² e opphøyd i x² + C
Vis løsning på oppgave 4
Med u lik kjernen blir integralet ∫eᵘ du = eᵘ + C.
Tilbake i x: e opphøyd i x² + C.
Fasit: B: e opphøyd i x² + C
Fra leksjon 6.1 Integrasjon ved substitusjon · Se forklaringen i videoen
Oppgave 5
u = 5x − 1. Hva er du?
- A: du = (5x − 1) dx
- B: du = 5 dx
- C: du = −1 dx
- D: du = dx
Vis løsning på oppgave 5
u′ = 5, så du = 5 dx.
Fasit: B: du = 5 dx
Fra leksjon 6.1 Integrasjon ved substitusjon · Se forklaringen i videoen
Middels vanskelige
Oppgave 6
Regn ut ∫₁² u³ du.
- A: 7
- B: 15 delt på 4
- C: 17 delt på 4
- D: 4
Vis løsning på oppgave 6
[u⁴ delt på 4]₁² = 4 − 1 delt på 4 = 15 delt på 4.
Fasit: B: 15 delt på 4
Fra leksjon 6.2 Substitusjon i bestemte integraler · Se forklaringen i videoen
Oppgave 7
Regn ut ∫₀ opphøyd i {π⁄2} cos x · e opphøyd i sin x dx.
- A: 1
- B: e
- C: e − 1
- D: e opphøyd i {π⁄2} − 1
Vis løsning på oppgave 7
u = sin x, fra 0 til 1: ∫₀¹ eᵘ du = e − 1.
Fasit: C: e − 1
Fra leksjon 6.2 Substitusjon i bestemte integraler · Se forklaringen i videoen
Oppgave 8
Finn ∫cos x · e opphøyd i sin x dx.
- A: e opphøyd i cos x + C
- B: e opphøyd i sin x + C
- C: eᵘ + C
- D: sin x · e opphøyd i sin x + C
Vis løsning på oppgave 8
Med u lik kjernen blir integralet ∫eᵘ du = eᵘ + C.
Tilbake i x: e opphøyd i sin x + C.
Fasit: B: e opphøyd i sin x + C
Fra leksjon 6.1 Integrasjon ved substitusjon · Se forklaringen i videoen
Oppgave 9
u = 2x − 3. Hva er du?
- A: du = dx
- B: du = −3 dx
- C: du = 2 dx
- D: du = (2x − 3) dx
Vis løsning på oppgave 9
u′ = 2, så du = 2 dx.
Fasit: C: du = 2 dx
Fra leksjon 6.1 Integrasjon ved substitusjon · Se forklaringen i videoen
Oppgave 10
Finn ∫2x delt på x² + 1 dx.
- A: ln(x² + 1) + C
- B: 2x ln(x² + 1) + C
- C: ln|2x| + C
- D: 1 delt på x² + 1 + C
Vis løsning på oppgave 10
u = x² + 1, du = 2x dx: ∫1 delt på u du = ln|u| = ln(x² + 1) + C.
Fasit: A: ln(x² + 1) + C
Fra leksjon 6.1 Integrasjon ved substitusjon · Se forklaringen i videoen
Mer krevende
Oppgave 11
I ∫₀¹ 2x(x²)³ dx setter du u = x². Hva blir de nye grensene?
- A: u fra 0 til 2
- B: u fra 1 til 2
- C: u fra 0 til 1
Vis løsning på oppgave 11
x = 0 gir u = 0, og x = 1 gir u = 1.
Fasit: C: u fra 0 til 1
Fra leksjon 6.2 Substitusjon i bestemte integraler · Se forklaringen i videoen
Oppgave 12
I et integral fra x = 0 til x = 4 setter du u = 2x + 1. Hva blir de nye grensene?
- A: u fra 1 til 9
- B: u fra 1 til 5
- C: u fra 0 til 9
- D: u fra 0 til 4
Vis løsning på oppgave 12
x = 0 gir u = 1, og x = 4 gir u = 9.
Fasit: A: u fra 1 til 9
Fra leksjon 6.2 Substitusjon i bestemte integraler · Se forklaringen i videoen
Oppgave 13
Finn ∫2x delt på x² + 3 dx.
- A: 1 delt på x² + 3 + C
- B: ln(x² + 3) + C
- C: ln|2x| + C
- D: 2x ln(x² + 3) + C
Vis løsning på oppgave 13
u = x² + 3, du = 2x dx: ∫1 delt på u du = ln|u| = ln(x² + 3) + C.
Fasit: B: ln(x² + 3) + C
Fra leksjon 6.1 Integrasjon ved substitusjon · Se forklaringen i videoen
Oppgave 14
I ∫₀¹ 2x(x² + 3)³ dx setter du u = x² + 3. Hva blir de nye grensene?
- A: u fra 3 til 5
- B: u fra 0 til 1
- C: u fra 1 til 2
- D: u fra 3 til 4
Vis løsning på oppgave 14
x = 0 gir u = 3, og x = 1 gir u = 4.
Fasit: D: u fra 3 til 4
Fra leksjon 6.2 Substitusjon i bestemte integraler · Se forklaringen i videoen
Oppgave 15
I et integral fra x = 0 til x = 1 setter du u = 2x + 1. Hva blir de nye grensene?
- A: u fra 1 til 2
- B: u fra 0 til 3
- C: u fra 1 til 3
- D: u fra 0 til 1
Vis løsning på oppgave 15
x = 0 gir u = 1, og x = 1 gir u = 3.
Fasit: C: u fra 1 til 3
Fra leksjon 6.2 Substitusjon i bestemte integraler · Se forklaringen i videoen
Fasit
Vis fasit til alle oppgavene
- Oppgave 1: D: u = x² − 1
- Oppgave 2: B: u = x² + 4
- Oppgave 3: B: u = x²
- Oppgave 4: B: e opphøyd i x² + C
- Oppgave 5: B: du = 5 dx
- Oppgave 6: B: 15 delt på 4
- Oppgave 7: C: e − 1
- Oppgave 8: B: e opphøyd i sin x + C
- Oppgave 9: C: du = 2 dx
- Oppgave 10: A: ln(x² + 1) + C
- Oppgave 11: C: u fra 0 til 1
- Oppgave 12: A: u fra 1 til 9
- Oppgave 13: B: ln(x² + 3) + C
- Oppgave 14: D: u fra 3 til 4
- Oppgave 15: C: u fra 1 til 3
Oppgavene hører til leksjonene 6.1–6.2 i modulen Integrasjonsmetoder, som øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.
Les også
- Integrasjon ved substitusjon
- Substitusjon i bestemte integraler – forklart steg for steg
- Delvis integrasjon og delbrøk: oppgaver med fasit
- Areal mellom grafer: oppgaver med fasit
- Alle oppgavene i R2
- Begrepene i R2 forklart
Oppgavene er laget av Sophus med de samme oppgavemalene som i kurset, og løsningene er kontrollert av en regnekontroll. Ser du likevel en feil, si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.