Direkte bevis – forklart steg for steg

Matematikk R2 · modul 4 · leksjon 4.1 · eksamen: del 1, uten hjelpemidler

Et bevis viser at en påstand stemmer for alle tall, ikke bare for noen. Her lærer du å skrive partall og oddetall med bokstaver, og å føre et direkte bevis.

Dette er leksjon 4.1 Direkte bevis i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Eksempler er ikke nok

3 + 5 = 8 og 7 + 9 = 16. Begge summene er partall. Men det viser bare at det stemmer for disse tallene. Et bevis må gjelde for alle tall. Derfor bruker du bokstaver, som kan stå for et hvilket som helst helt tall.

3 + 5 = 8
7 + 9 = 16

Reglene

1. Et partall kan skrives 2m, og et oddetall 2m + 1, der m er et helt tall.
2. Bruk ulike bokstaver for tall som kan være ulike.
3. Vis at svaret har formen 2 · (et helt tall), eller 2 · (et helt tall) + 1.

Eksempler

Eksempel 1: summen av to oddetall

Bevis at summen av to oddetall er et partall.

(2m + 1) + (2n + 1) = 2m + 2n + 2
2m + 2n + 2 = 2(m + n + 1)

Svar: Summen er 2 ganger et helt tall, altså et partall.

Kall oddetallene 2m + 1 og 2n + 1. m + n + 1 er et helt tall, fordi summen av hele tall er et helt tall.

Eksempel 2: produktet av to oddetall

Bevis at produktet av to oddetall er et oddetall.

(2m + 1)(2n + 1) = 4mn + 2m + 2n + 1
4mn + 2m + 2n + 1 = 2(2mn + m + n) + 1

Svar: Produktet er 2 ganger et helt tall pluss 1, altså et oddetall.

Øv selv: 15 oppgaver i direkte bevis og motsigelse med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å vise påstanden med noen eksempler og si at den er bevist.
• Å kalle begge oddetallene 2m + 1. Da beviser du det bare for to like tall.
• Å glemme å si hvorfor uttrykket i parentesen er et helt tall.

På eksamen

Bevis kommer på del 1. Skriv hva bokstavene står for før du regner, og avslutt med en setning som sier hva du har vist. Det er argumentet som gir poeng, ikke bare regningen.

Leksjonen hører til modulen Bevis og øves til del 1, uten hjelpemidler. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.

Begreper: bevis partall oddetall

Les også

• Induksjonsbevis steg for steg
• Induksjon med rekker og delelighet – forklart steg for steg
• Bevis ved motsigelse – forklart steg for steg
• Direkte bevis og motsigelse: oppgaver med fasit
• Prøv en gratis oppgave i R2

Mer om matte R2

• Alle modulene i matte R2
• Eksamen i R2: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for R2: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for R2
• Begrepene i R2 forklart
• De 10 vanligste feilene i R2
• Temaer i R2 forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i R2, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.