Temaer › Matematikk R2

Induksjonsbevis steg for steg

Matematikk R2 · Vg3, realfagsmatematikk · eksamen: del 1

Et induksjonsbevis viser at en påstand gjelder for alle naturlige tall n. Det fungerer som dominobrikker: den første faller, og hver brikke som faller, velter den neste.

Lær dette i Sophus: 4.2 Induksjonsbevis i Matematikk R2, med video og øving. Se leksjonen

De tre stegene

1. Basissteg: vis at påstanden stemmer for n = 1.
2. Induksjonsantakelse: anta at påstanden stemmer for n = k.
3. Induksjonssteg: vis at den da også stemmer for n = k + 1. Bruk antakelsen.

Avslutt med en setning: «Ved induksjon gjelder påstanden for alle naturlige tall n.»

Nøkkelen

I induksjonssteget skriver du venstre side for n = k + 1 slik at uttrykket for n = k dukker opp. Da kan du bytte det ut med antakelsen, og regne deg fram til høyre side for n = k + 1.

Eksempler

Eksempel 1: summen av oddetall

Vis at 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n².

Basis: n = 1 gir 1 = 1². Antakelse: 1 + 3 + … + (2k − 1) = k². Steg:

1 + 3 + … + (2k − 1) + (2k + 1) = k² + 2k + 1 = (k + 1)²

Det er høyre side for n = k + 1, så påstanden gjelder for alle n.

Eksempel 2: summen av partall

Vis at 2 + 4 + … + 2n = n(n + 1).

Basis: 2 = 1 · 2. Steg: anta at summen til 2k er k(k + 1). Da er

k(k + 1) + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2)

som er påstanden for n = k + 1.

Eksempel 3: delelighet

Vis at 4ⁿ − 1 er delelig med 3.

Basis: 4 − 1 = 3. Antakelse: 4^k − 1 = 3m for et helt tall m. Steg:

4^{k + 1} − 1 = 4 · 4^k − 1 = 4(4^k − 1) + 3 = 4 · 3m + 3 = 3(4m + 1)

Det er delelig med 3.

Vanlige feil

• Å hoppe over basissteget.
• Å anta det du skal bevise, altså påstanden for n = k + 1.
• Å ikke bruke induksjonsantakelsen i steget. Da er det ikke et induksjonsbevis.
• Å glemme å skrive konklusjonen.

På eksamen

Induksjonsbevis kommer på del 1 i R2, ofte med en sum eller delelighet. Sensor vurderer føringen: de tre stegene skal være tydelige, og antakelsen skal brukes. Skriv med ord hva du gjør i hvert steg.

I kurset hører temaet til leksjon 4.2 i modulen Bevis, som øves til del 1. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.

Spørsmål og svar

Les også

• Aritmetiske følger og rekker
• Geometriske følger og rekker
• Kvadratsetningene: første, andre og konjugatsetningen · Matematikk 1T
• Formelark for R2
• Eksamen i R2
• Alle temaene

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den. Alt innhold i Sophus skal være riktig.