Direkte bevis og motsigelse: oppgaver med fasit
15 oppgaver i direkte bevis og motsigelse i R2, med løsning steg for steg og fasit. Prøv selv først, og trykk «Vis løsning» når du vil sjekke svaret. Oppgavene er sortert fra kort til lang løsning.
Lær dette i Sophus: 4.1 Direkte bevis, 4.4 Bevis ved motsigelse i Matematikk R2, med video og øving med nye tall hver gang. Se leksjonen
Lettere oppgaver
Oppgave 1
Du vil bevise ved motsigelse at det finnes uendelig mange primtall. Hva antar du først?
- A: at det finnes endelig mange primtall
- B: at det finnes uendelig mange primtall
- C: ingenting
- D: at alle tall er primtall
Vis løsning på oppgave 1
Du antar det motsatte: at det finnes endelig mange primtall.
Fasit: A: at det finnes endelig mange primtall
Fra leksjon 4.4 Bevis ved motsigelse · Se forklaringen i videoen
Oppgave 2
Hva er en motsigelse i et bevis?
- A: et eksempel som stemmer
- B: et regnestykke som gir null
- C: en antakelse
- D: to ting som ikke kan være sanne samtidig
Vis løsning på oppgave 2
For eksempel at et tall er både partall og oddetall.
Fasit: D: to ting som ikke kan være sanne samtidig
Fra leksjon 4.4 Bevis ved motsigelse · Se forklaringen i videoen
Oppgave 3
Du vil bevise ved motsigelse at n er et partall når n² er et partall. Hva antar du først?
- A: ingenting
- B: at n² er et oddetall
- C: at n er et partall
- D: at n er et oddetall, selv om n² er et partall
Vis løsning på oppgave 3
Du antar det motsatte: at n er et oddetall, selv om n² er et partall.
Fasit: D: at n er et oddetall, selv om n² er et partall
Fra leksjon 4.4 Bevis ved motsigelse · Se forklaringen i videoen
Oppgave 4
Du vil bevise ved motsigelse at √2 er irrasjonalt. Hva antar du først?
- A: at √2 = 1,41
- B: ingenting
- C: at √2 er irrasjonalt
- D: at √2 er rasjonalt
Vis løsning på oppgave 4
Du antar det motsatte: at √2 er rasjonalt.
Fasit: D: at √2 er rasjonalt
Fra leksjon 4.4 Bevis ved motsigelse · Se forklaringen i videoen
Oppgave 5
Hva blir partall + partall?
- A: kan være begge
- B: partall
- C: oddetall
Vis løsning på oppgave 5
2m + 2n = 2(m + n), som er et partall.
Fasit: B: partall
Middels vanskelige
Oppgave 6
Skriv (2m + 1) + (2n + 1) som 2 ganger et helt tall.
- A: 2(m + n + 1)
- B: 2(m + n + 2)
- C: 2(m + n)
- D: m + n + 1
Vis løsning på oppgave 6
2m + 2n + 2 = 2(m + n + 1).
Fasit: A: 2(m + n + 1)
Oppgave 7
En elev viser at 3 + 5 = 8 og 7 + 9 = 16. Er det et bevis for at summen av to oddetall alltid er et partall?
- A: nei, det er bare eksempler
- B: ja, fordi det er to eksempler
- C: ja
Vis løsning på oppgave 7
Et bevis må gjelde for alle oddetall.
Skriv dem som 2m + 1 og 2n + 1.
Fasit: A: nei, det er bare eksempler
Oppgave 8
√2 = a delt på b, forkortet så mye som mulig, gir a² = 2b². Hva sier det om a?
- A: a er et partall
- B: a er et oddetall
- C: a = b
- D: a = 2
Vis løsning på oppgave 8
a² er et partall, og da er a et partall.
Det leder til motsigelsen.
Fasit: A: a er et partall
Fra leksjon 4.4 Bevis ved motsigelse · Se forklaringen i videoen
Oppgave 9
Hva blir oddetall · oddetall?
- A: partall
- B: oddetall
- C: kan være begge
Vis løsning på oppgave 9
(2m + 1)(2n + 1) = 2(2mn + m + n) + 1, som er et oddetall.
Fasit: B: oddetall
Oppgave 10
Hva blir partall + oddetall?
- A: partall
- B: oddetall
- C: kan være begge
Vis løsning på oppgave 10
2m + (2n + 1) = 2(m + n) + 1, som er et oddetall.
Fasit: B: oddetall
Mer krevende
Oppgave 11
Hva blir partall · oddetall?
- A: partall
- B: oddetall
- C: kan være begge
Vis løsning på oppgave 11
2m(2n + 1) = 2(m(2n + 1)), som er et partall.
Fasit: A: partall
Oppgave 12
Hva blir oddetall + oddetall?
- A: partall
- B: kan være begge
- C: oddetall
Vis løsning på oppgave 12
(2m + 1) + (2n + 1) = 2(m + n + 1), som er et partall.
Fasit: A: partall
Oppgave 13
Hvordan skriver du et partall med et helt tall n?
- A: 2n
- B: 2n + 1
- C: n²
- D: n + 2
Vis løsning på oppgave 13
Et partall er 2 ganger et helt tall, 2n.
Et oddetall er ett mer, 2n + 1.
Svaret er 2n.
Fasit: A: 2n
Oppgave 14
Du antar at n = 2m + 1. Hva er n²?
- A: 4m²
- B: 2(2m² + 2m) + 1
- C: 4m² + 1
- D: 2m² + 1
Vis løsning på oppgave 14
(2m + 1)² = 4m² + 4m + 1 = 2(2m² + 2m) + 1, et oddetall.
Fasit: B: 2(2m² + 2m) + 1
Fra leksjon 4.4 Bevis ved motsigelse · Se forklaringen i videoen
Oppgave 15
Hvordan skriver du et oddetall med et helt tall n?
- A: 2n + 1
- B: 3n
- C: n + 1
- D: 2n
Vis løsning på oppgave 15
Et partall er 2 ganger et helt tall, 2n.
Et oddetall er ett mer, 2n + 1.
Svaret er 2n + 1.
Fasit: A: 2n + 1
Fasit
Vis fasit til alle oppgavene
- Oppgave 1: A: at det finnes endelig mange primtall
- Oppgave 2: D: to ting som ikke kan være sanne samtidig
- Oppgave 3: D: at n er et oddetall, selv om n² er et partall
- Oppgave 4: D: at √2 er rasjonalt
- Oppgave 5: B: partall
- Oppgave 6: A: 2(m + n + 1)
- Oppgave 7: A: nei, det er bare eksempler
- Oppgave 8: A: a er et partall
- Oppgave 9: B: oddetall
- Oppgave 10: B: oddetall
- Oppgave 11: A: partall
- Oppgave 12: A: partall
- Oppgave 13: A: 2n
- Oppgave 14: B: 2(2m² + 2m) + 1
- Oppgave 15: A: 2n + 1
Oppgavene hører til leksjonene 4.1–4.4 i modulen Bevis, som øves til del 1. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.
Les også
- Direkte bevis – forklart steg for steg
- Bevis ved motsigelse – forklart steg for steg
- Induksjonsbevis: oppgaver med fasit
- Rekker i praksis: oppgaver med fasit
- Alle oppgavene i R2
- Begrepene i R2 forklart
Oppgavene er laget av Sophus med de samme oppgavemalene som i kurset, og løsningene er kontrollert av en regnekontroll. Ser du likevel en feil, si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.