Induksjon med rekker og delelighet – forklart steg for steg

Matematikk R2 · modul 4 · leksjon 4.3 · eksamen: del 1 og del 2

Med induksjon beviser du at en formel stemmer for alle n. Her lærer du å føre induksjonsbevis for sumformler og for delelighet.

Dette er leksjon 4.3 Induksjon med rekker og delelighet i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Induksjon i to trinn

Et induksjonsbevis har et grunntrinn og et induksjonstrinn. I grunntrinnet viser du at påstanden stemmer for n = 1. I induksjonstrinnet antar du at den stemmer for n = k, og viser at den da også stemmer for n = k + 1.

Neste ledd

Når du går fra k til k + 1 i en rekke, kommer det ett nytt ledd. Du finner det ved å sette inn k + 1 i formelen for leddet. Er leddet 2n − 1, blir det nye leddet:

2(k + 1) − 1 = 2k + 1

Reglene i induksjonstrinnet

1. Legg til neste ledd.
2. Bruk induksjonsantakelsen på summen opp til k.
3. Skriv om til formen påstanden har for k + 1.

Eksempler

Eksempel 1: en sumformel

Bevis at 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n² for alle n ≥ 1.

1 = 1²
k² + (2k + 1) = k² + 2k + 1
k² + 2k + 1 = (k + 1)²

Svar: Formelen stemmer for n = 1, og stemmer den for n = k, stemmer den også for n = k + 1. Da stemmer den for alle n ≥ 1.

Første linje er grunntrinnet. I induksjonstrinnet antar du at summen opp til 2k − 1 er k², og legger til det nye leddet 2k + 1.

Eksempel 2: delelighet

Bevis at 3ⁿ − 1 er delelig med 2 for alle n ≥ 1.

3¹ − 1 = 2
3 opphøyd i ^{k + 1} − 1 = 3 · 3 opphøyd i ^k − 1
3 · 3 opphøyd i ^k − 1 = 3(3 opphøyd i ^k − 1) + 2

Svar: 3ⁿ − 1 er delelig med 2 for alle n ≥ 1.

Anta at 3ᵏ − 1 er delelig med 2. Da er 3(3ᵏ − 1) delelig med 2, og 2 er delelig med 2. Summen er derfor delelig med 2.

Øv selv: 15 oppgaver i induksjonsbevis med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å legge til 2k − 1 som neste ledd. Det er det siste leddet i summen opp til k. Det nye leddet er 2k + 1.
• Å gange ut og ikke se at k² + 2k + 1 er et fullstendig kvadrat.
• Å glemme grunntrinnet. Uten det har induksjonen ingen start.

På eksamen

Induksjonsbevis kommer på del 1. Skriv grunntrinnet, induksjonsantakelsen og målet for k + 1 tydelig før du regner. Avslutt med en setning om hva du har bevist.

Leksjonen hører til modulen Bevis og øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.

Begreper: delelighet induksjon

Les også

• Direkte bevis – forklart steg for steg
• Induksjonsbevis steg for steg
• Bevis ved motsigelse – forklart steg for steg
• Induksjonsbevis: oppgaver med fasit
• Prøv en gratis oppgave i R2

Mer om matte R2

• Alle modulene i matte R2
• Eksamen i R2: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for R2: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for R2
• Begrepene i R2 forklart
• De 10 vanligste feilene i R2
• Temaer i R2 forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i R2, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.