Hopp til innholdet

Volum av omdreiningslegemer: oppgaver med fasit

Matematikk R2 · Vg3, realfagsmatematikk · 15 oppgaver · eksamen: del 1 og del 2

15 oppgaver i volum av omdreiningslegemer i R2, med løsning steg for steg og fasit. Prøv selv først, og trykk «Vis løsning» når du vil sjekke svaret. Oppgavene er sortert fra kort til lang løsning.

Lær dette i Sophus: 7.1 Volum av omdreiningslegemer, 7.2 Volum mellom to grafer i Matematikk R2, med video og øving med nye tall hver gang. Se leksjonen

Lettere oppgaver

Oppgave 1

Hvilken formel gir volumet når f dreies om x-aksen fra a til b?

  1. A: 2π ∫ₐᵇ f(x) dx
  2. B: π ∫ₐᵇ f(x)² dx
  3. C: ∫ₐᵇ f(x)² dx
  4. D: π ∫ₐᵇ f(x) dx
Vis løsning på oppgave 1

Hver skive har areal π f(x)², så V = π ∫ₐᵇ f(x)² dx.

Fasit: B: π ∫ₐᵇ f(x)² dx

Fra leksjon 7.1 Volum av omdreiningslegemer · Se forklaringen i videoen

Oppgave 2

Hvilket integral gir volumet når området mellom f (ytterst) og g dreies om x-aksen?

  1. A: π ∫(f² − g²) dx
  2. B: π ∫(g² − f²) dx
  3. C: ∫(f² − g²) dx
  4. D: π ∫(f − g)² dx
Vis løsning på oppgave 2

Skive med hull: πf² − πg² = π(f² − g²).

Fasit: A: π ∫(f² − g²) dx

Fra leksjon 7.2 Volum mellom to grafer · Se forklaringen i videoen

Oppgave 3

Hvilken graf ligger ytterst for x ∈ [0, 1]: 2 eller x?

  1. A: de er like
  2. B: x
  3. C: 2
Vis løsning på oppgave 3

Med x = 1 er 2 størst, så 2 ligger ytterst.

Fasit: C: 2

Fra leksjon 7.2 Volum mellom to grafer · Se forklaringen i videoen

Oppgave 4

Hvilken graf ligger ytterst for x ∈ [0, 1]: x eller x²?

  1. A: x²
  2. B: de er like
  3. C: x
Vis løsning på oppgave 4

Med x = 1 delt på 2 er x størst, så x ligger ytterst.

Fasit: C: x

Fra leksjon 7.2 Volum mellom to grafer · Se forklaringen i videoen

Oppgave 5

Området mellom y = x og y = x², x ∈ [0, 1], dreies om x-aksen. Finn volumet.

  1. A: 2π delt på 3
  2. B: π delt på 6
  3. C: 2π delt på 15
  4. D: π delt på 30
Vis løsning på oppgave 5

π ∫₀¹ (x² − x⁴) dx = π(1 delt på 3 − 1 delt på 5) = 2π delt på 15.

Fasit: C: 2π delt på 15

Fra leksjon 7.2 Volum mellom to grafer · Se forklaringen i videoen

Middels vanskelige

Oppgave 6

Grafen til f(x) = √x, x ∈ [0, 2], dreies om x-aksen. Finn volumet.

  1. A: 2π
  2. B: 4π
  3. C: 2
Vis løsning på oppgave 6

V = π ∫₀² x dx = π · 4 delt på 2 = 2π.

Fasit: A: 2π

Fra leksjon 7.1 Volum av omdreiningslegemer · Se forklaringen i videoen

Oppgave 7

Grafen til f(x) = x, x ∈ [0, 1], dreies om x-aksen. Finn volumet.

  1. A: π delt på 2
  2. B: π
  3. C: π delt på 3
Vis løsning på oppgave 7

V = π ∫₀¹ x² dx = π · 1 delt på 3 = π delt på 3.

Fasit: C: π delt på 3

Fra leksjon 7.1 Volum av omdreiningslegemer · Se forklaringen i videoen

Oppgave 8

Grafen til f(x) = 3, x ∈ [0, 6], dreies om x-aksen. Finn volumet av sylinderen.

  1. A: 54
  2. B: 36π
  3. C: 54π
  4. D: 18π
Vis løsning på oppgave 8

V = π ∫₀⁶ 9 dx = 54π.

Det er πr²h.

Fasit: C: 54π

Fra leksjon 7.1 Volum av omdreiningslegemer · Se forklaringen i videoen

Oppgave 9

Området mellom y = 2 og y = x, x ∈ [0, 2], dreies om x-aksen. Finn volumet.

  1. A: 16π delt på 3
  2. B: 8π delt på 3
  3. C: 8π
  4. D: 4π delt på 3
Vis løsning på oppgave 9

V = π ∫₀² (4 − x²) dx = π(8 − 8 delt på 3) = 16π delt på 3.

Fasit: A: 16π delt på 3

Fra leksjon 7.2 Volum mellom to grafer · Se forklaringen i videoen

Oppgave 10

Grafen til f(x) = √x, x ∈ [0, 4], dreies om x-aksen. Finn volumet.

  1. A: 16π
  2. B: 4π
  3. C: 8
  4. D: 8π
Vis løsning på oppgave 10

V = π ∫₀⁴ x dx = π · 16 delt på 2 = 8π.

Fasit: D: 8π

Fra leksjon 7.1 Volum av omdreiningslegemer · Se forklaringen i videoen

Mer krevende

Oppgave 11

Grafen til f(x) = x, x ∈ [0, 2], dreies om x-aksen. Finn volumet.

  1. A: 2π
  2. B: 8π
  3. C: π
  4. D: 8π delt på 3
Vis løsning på oppgave 11

V = π ∫₀² x² dx = π · 8 delt på 3 = 8π delt på 3.

Fasit: D: 8π delt på 3

Fra leksjon 7.1 Volum av omdreiningslegemer · Se forklaringen i videoen

Oppgave 12

Grafen til f(x) = 4, x ∈ [0, 4], dreies om x-aksen. Finn volumet av sylinderen.

  1. A: 32π
  2. B: 64
  3. C: 16π
  4. D: 64π
Vis løsning på oppgave 12

V = π ∫₀⁴ 16 dx = 64π.

Det er πr²h.

Fasit: D: 64π

Fra leksjon 7.1 Volum av omdreiningslegemer · Se forklaringen i videoen

Oppgave 13

Området mellom y = 1 og y = x, x ∈ [0, 1], dreies om x-aksen. Finn volumet.

  1. A: 2π delt på 3
  2. B: π delt på 6
  3. C: π delt på 3
  4. D: π
Vis løsning på oppgave 13

V = π ∫₀¹ (1 − x²) dx = π(1 − 1 delt på 3) = 2π delt på 3.

Fasit: A: 2π delt på 3

Fra leksjon 7.2 Volum mellom to grafer · Se forklaringen i videoen

Oppgave 14

Grafen til f(x) = √x, x ∈ [0, 6], dreies om x-aksen. Finn volumet.

  1. A: 18
  2. B: 18π
  3. C: 36π
  4. D: 6π
Vis løsning på oppgave 14

V = π ∫₀⁶ x dx = π · 36 delt på 2 = 18π.

Fasit: B: 18π

Fra leksjon 7.1 Volum av omdreiningslegemer · Se forklaringen i videoen

Oppgave 15

Grafen til f(x) = x, x ∈ [0, 6], dreies om x-aksen. Finn volumet.

  1. A: 18π
  2. B: π
  3. C: 216π
  4. D: 72π
Vis løsning på oppgave 15

V = π ∫₀⁶ x² dx = π · 216 delt på 3 = 72π.

Fasit: D: 72π

Fra leksjon 7.1 Volum av omdreiningslegemer · Se forklaringen i videoen

Fasit

Vis fasit til alle oppgavene
  1. Oppgave 1: B: π ∫ₐᵇ f(x)² dx
  2. Oppgave 2: A: π ∫(f² − g²) dx
  3. Oppgave 3: C: 2
  4. Oppgave 4: C: x
  5. Oppgave 5: C: 2π delt på 15
  6. Oppgave 6: A: 2π
  7. Oppgave 7: C: π delt på 3
  8. Oppgave 8: C: 54π
  9. Oppgave 9: A: 16π delt på 3
  10. Oppgave 10: D: 8π
  11. Oppgave 11: D: 8π delt på 3
  12. Oppgave 12: D: 64π
  13. Oppgave 13: A: 2π delt på 3
  14. Oppgave 14: B: 18π
  15. Oppgave 15: D: 72π

Oppgavene hører til leksjonene 7.1–7.2 i modulen Anvendelser av integrasjon, som øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.

Les også

Oppgavene er laget av Sophus med de samme oppgavemalene som i kurset, og løsningene er kontrollert av en regnekontroll. Ser du likevel en feil, si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.