Volum mellom to grafer – forklart steg for steg

Matematikk R2 · modul 7 · leksjon 7.2 · eksamen: del 2

Dreier du området mellom to grafer rundt x-aksen, får du en figur med hull i midten. Her lærer du å regne ut volumet.

Dette er leksjon 7.2 Volum mellom to grafer i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Skiver med hull

Snitter du på tvers, får du en skive med hull, som en skive av en smultring. Arealet er den store sirkelen minus den lille: π · f(x)² − π · g(x)².

Reglene

1. Finn hvilken graf som ligger ytterst, f, og hvilken som ligger innerst, g.
2. V = π ∫ₐᵇ (f(x)² − g(x)²) dx.
3. Det er ikke det samme som π ∫ (f(x) − g(x))² dx.

Eksempler

Eksempel 1: mellom y = x og y = x²

Området mellom y = x og y = x² for x ∈ [0, 1] dreies om x-aksen. Finn volumet.

x² − (x²)² = x² − x⁴
π · (1³ delt på 3 − 1⁵ delt på 5) = π · (1 delt på 3 − 1 delt på 5) = 2π delt på 15

Svar: V = 2π delt på 15

x ligger ytterst og x² innerst på intervallet.

Eksempel 2: sylinder minus kjegle

Området mellom y = 2 og y = x for x ∈ [0, 2] dreies om x-aksen. Finn volumet.

π · (4 · 2 − 2³ delt på 3) = π · (8 − 8 delt på 3) = 16π delt på 3

Svar: V = 16π delt på 3

y = 2 gir en sylinder, og y = x gir en kjegle som tas ut.

Øv selv: 15 oppgaver i volum av omdreiningslegemer med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å bruke (f − g)² i stedet for f² − g². Det er kvadratene som trekkes fra hverandre.
• Å bytte om den ytterste og den innerste grafen. Da blir volumet negativt.
• Å glemme å finne skjæringspunktene, som ofte er grensene.

På eksamen

Volum mellom grafer kommer på del 2. Fra våren 2027 regner du integralet for hånd. Tegn en skisse, marker ytterst og innerst, og skriv formelen før du setter inn.

Leksjonen hører til modulen Anvendelser av integrasjon og øves til del 2. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.

Begreper: skive med hull volum

Les også

• Volum av omdreiningslegemer – forklart steg for steg
• Mengde fra vekstfart – forklart steg for steg
• Strekning fra fart – forklart steg for steg
• Volum av omdreiningslegemer: oppgaver med fasit
• Prøv en gratis oppgave i R2

Mer om matte R2

• Alle modulene i matte R2
• Eksamen i R2: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for R2: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for R2
• Begrepene i R2 forklart
• De 10 vanligste feilene i R2
• Temaer i R2 forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i R2, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.