Mengde fra vekstfart – forklart steg for steg

Matematikk R2 · modul 7 · leksjon 7.3 · eksamen: del 1 og del 2

Kjenner du farten noe vokser med, kan du finne hvor mye det har vokst. Her lærer du å tolke integralet av en vekstfart som en endring i mengden.

Dette er leksjon 7.3 Mengde fra vekstfart i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Integralet av en vekstfart

Vann renner inn i en tank med en fart målt i liter per minutt. På et lite tidsrom renner det inn omtrent farten ganger tiden. Legger du sammen alle de små tidsrommene, får du et integral. Integralet av vekstfarten er hvor mye mengden har endret seg.

Reglene

1. Vekstfarten er den deriverte av mengden.
2. Endringen fra t = a til t = b er integralet av vekstfarten fra a til b.
3. Mengden er startmengden pluss endringen.

Eksempler

Eksempel 1: vann i en tank

Vann renner inn i en tank med farten v(t) = 20 − 2t liter per minutt. Hvor mye renner inn de første 10 minuttene?

F(t) = 20t − t²
F(10) − F(0) = 200 − 100 = 100

Svar: Det renner inn 100 liter.

En antiderivert til 20 − 2t er 20t − t².

Eksempel 2: startmengde pluss endring

Tanken hadde 50 liter fra start. Hvor mye er det i tanken etter 10 minutter?

50 + 100 = 150

Svar: Det er 150 liter i tanken.

Øv selv: 15 oppgaver i integral av vekstfart med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å sette t = 10 inn i vekstfarten. v(10) = 0 er farten akkurat da, ikke hvor mye som har rent inn.
• Å glemme startmengden når oppgaven spør etter mengden, ikke endringen.
• Å glemme enheten. Svaret har enheten til mengden, for eksempel liter.

På eksamen

Oppgaver om vekstfart kommer på del 1 og del 2. Skriv hva integralet betyr i situasjonen, og svar med enhet. Fra våren 2027 regner du integralet for hånd også på del 2.

Leksjonen hører til modulen Anvendelser av integrasjon og øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.

Begreper: vekstfart endring

Les også

• Volum av omdreiningslegemer – forklart steg for steg
• Volum mellom to grafer – forklart steg for steg
• Strekning fra fart – forklart steg for steg
• Integral av vekstfart: oppgaver med fasit
• Prøv en gratis oppgave i R2

Mer om matte R2

• Alle modulene i matte R2
• Eksamen i R2: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for R2: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for R2
• Begrepene i R2 forklart
• De 10 vanligste feilene i R2
• Temaer i R2 forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i R2, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.