Hopp til innholdet

Grenseverdier: oppgaver med fasit

Matematikk R1 · Vg2, realfagsmatematikk · 15 oppgaver · eksamen: del 1 og del 2

15 oppgaver i grenseverdier i R1, med løsning steg for steg og fasit. Prøv selv først, og trykk «Vis løsning» når du vil sjekke svaret. Oppgavene er sortert fra kort til lang løsning.

Lær dette i Sophus: 2.1 Hva er en grenseverdi?, 2.2 Grenseverdier med faktorisering i Matematikk R1, med video og øving med nye tall hver gang. Se leksjonen

Lettere oppgaver

Oppgave 1

Tabellen viser verdier av f(x) nær x = 5: f(4,9) = 2,9; f(4,99) = 2,99; f(5,01) = 3,01; f(5,1) = 3,1. Hva er lim (x → 5) f(x)?

Vis løsning på oppgave 1

Fra begge sider kommer f(x) nærmere og nærmere 3, så grenseverdien er 3.

Fasit: 3

Fra leksjon 2.1 Hva er en grenseverdi? · Se forklaringen i videoen

Oppgave 2

Tabellen viser verdier av f(x) nær x = 4: f(3,9) = −1,1; f(3,99) = −1,01; f(4,01) = −0,99; f(4,1) = −0,9. Hva er lim (x → 4) f(x)?

Vis løsning på oppgave 2

Fra begge sider kommer f(x) nærmere og nærmere −1, så grenseverdien er −1.

Fasit: −1

Fra leksjon 2.1 Hva er en grenseverdi? · Se forklaringen i videoen

Oppgave 3

Forkort brøken (x ≠ 0 og x ≠ 2).

x² − 4 delt på x² − 2x

  1. A: x − 2 delt på x
  2. B: x + 2 delt på x
  3. C: 2 delt på x
  4. D: x + 2
Vis løsning på oppgave 3

(x − 2)(x + 2) delt på x(x − 2) = x + 2 delt på x.

Fasit: B: x + 2 delt på x

Fra leksjon 2.2 Grenseverdier med faktorisering · Se forklaringen i videoen

Oppgave 4

Du setter inn x = 2 i x² − 4 delt på x − 2 og får 0 delt på 0. Hva gjør du da?

  1. A: Svarer at grenseverdien ikke finnes
  2. B: Svarer at grenseverdien er 0
  3. C: Svarer at grenseverdien er 1
  4. D: Regne om uttrykket og sette inn etterpå
Vis løsning på oppgave 4

x² − 4 delt på x − 2 = (x − 2)(x + 2) delt på x − 2 = x + 2 når x ≠ 2, så grenseverdien er 4.

Fasit: D: Regne om uttrykket og sette inn etterpå

Fra leksjon 2.1 Hva er en grenseverdi? · Se forklaringen i videoen

Oppgave 5

Finn grenseverdien.

lim (x → 1) 2x − 2 delt på x² − 1

  1. A: 1
  2. B: 0
  3. C: 2
  4. D: Finnes ikke
Vis løsning på oppgave 5

2(x − 1) delt på (x − 1)(x + 1) = 2 delt på x + 1, og 2 delt på 1 + 1 = 1.

Fasit: A: 1

Fra leksjon 2.2 Grenseverdier med faktorisering · Se forklaringen i videoen

Middels vanskelige

Oppgave 6

Se på f(x) = x² − 36 delt på x − 6 og g(x) = x + 6. Hva stemmer?

  1. A: Like for alle x ≠ 6, men f(6) finnes ikke
  2. B: f og g er samme funksjon
  3. C: lim (x → 6) f(x) finnes ikke
  4. D: f(6) = 12
Vis løsning på oppgave 6

f(x) = x + 6 bare når x ≠ 6.

Grenseverdien er 12, men f(6) finnes ikke.

Fasit: A: Like for alle x ≠ 6, men f(6) finnes ikke

Fra leksjon 2.2 Grenseverdier med faktorisering · Se forklaringen i videoen

Oppgave 7

Du setter inn x = 5 i x² − 25 delt på x − 5 og får 0 delt på 0. Hva gjør du da?

  1. A: Svarer at grenseverdien er 1
  2. B: Regne om uttrykket og sette inn etterpå
  3. C: Svarer at grenseverdien ikke finnes
  4. D: Svarer at grenseverdien er 0
Vis løsning på oppgave 7

x² − 25 delt på x − 5 = (x − 5)(x + 5) delt på x − 5 = x + 5 når x ≠ 5, så grenseverdien er 10.

Fasit: B: Regne om uttrykket og sette inn etterpå

Fra leksjon 2.1 Hva er en grenseverdi? · Se forklaringen i videoen

Oppgave 8

Finn grenseverdien.

lim (x → −3) x² − 9 delt på x + 3

  1. A: 0
  2. B: Finnes ikke
  3. C: −6
  4. D: −3
Vis løsning på oppgave 8

x² − 9 = (x + 3)(x − 3).

Forkort, så står x − 3 igjen: −3 − 3 = −6.

Fasit: C: −6

Fra leksjon 2.1 Hva er en grenseverdi? · Se forklaringen i videoen

Oppgave 9

Finn grenseverdien.

lim (x → 2) x² − 7x + 10 delt på x − 2

Vis løsning på oppgave 9

x² − 7x + 10 = (x − 2)(x − 5).

Forkort x − 2: 2 − 5 = −3.

Fasit: −3

Fra leksjon 2.1 Hva er en grenseverdi? · Se forklaringen i videoen

Oppgave 10

Finn grenseverdien.

lim (x → 3) x² − 9 delt på x − 3

Vis løsning på oppgave 10

x² − 9 = (x − 3)(x + 3).

Forkort x − 3, og sett inn: 3 + 3 = 6.

Fasit: 6

Fra leksjon 2.2 Grenseverdier med faktorisering · Se forklaringen i videoen

Mer krevende

Oppgave 11

Finn grenseverdien. Tips: gang med den konjugerte.

lim (x → 1) x − 1 delt på √x − 1

Vis løsning på oppgave 11

(√x − 1)(√x + 1) = x − 1, så brøken blir √x + 1 etter forkorting.

√1 + 1 = 2.

Fasit: 2

Fra leksjon 2.2 Grenseverdier med faktorisering · Se forklaringen i videoen

Oppgave 12

Finn grenseverdien.

lim (x → 6) x² − 36 delt på x − 6

  1. A: 12
  2. B: Finnes ikke
  3. C: 0
  4. D: 6
Vis løsning på oppgave 12

x² − 36 = (x − 6)(x + 6).

Forkort, så står x + 6 igjen: 6 + 6 = 12.

Fasit: A: 12

Fra leksjon 2.1 Hva er en grenseverdi? · Se forklaringen i videoen

Oppgave 13

Finn grenseverdien.

lim (x → 1) x² − 5x + 4 delt på x − 1

Vis løsning på oppgave 13

x² − 5x + 4 = (x − 1)(x − 4).

Forkort x − 1: 1 − 4 = −3.

Fasit: −3

Fra leksjon 2.1 Hva er en grenseverdi? · Se forklaringen i videoen

Oppgave 14

Funksjonen f er gitt ved f(x) = x − 2 når x ≠ 2, og f(2) = 2. Hva er lim (x → 2) f(x)?

Vis løsning på oppgave 14

Nær x = 2 er f(x) = x − 2, som nærmer seg 2 − 2 = 0.

Verdien i selve punktet spiller ingen rolle.

Fasit: 0

Fra leksjon 2.1 Hva er en grenseverdi? · Se forklaringen i videoen

Oppgave 15

Funksjonen f er gitt ved f(x) = x − 1 når x ≠ 4, og f(4) = 1. Hva er lim (x → 4) f(x)?

Vis løsning på oppgave 15

Nær x = 4 er f(x) = x − 1, som nærmer seg 4 − 1 = 3.

Verdien i selve punktet spiller ingen rolle.

Fasit: 3

Fra leksjon 2.1 Hva er en grenseverdi? · Se forklaringen i videoen

Fasit

Vis fasit til alle oppgavene
  1. Oppgave 1: 3
  2. Oppgave 2: −1
  3. Oppgave 3: B: x + 2 delt på x
  4. Oppgave 4: D: Regne om uttrykket og sette inn etterpå
  5. Oppgave 5: A: 1
  6. Oppgave 6: A: Like for alle x ≠ 6, men f(6) finnes ikke
  7. Oppgave 7: B: Regne om uttrykket og sette inn etterpå
  8. Oppgave 8: C: −6
  9. Oppgave 9: −3
  10. Oppgave 10: 6
  11. Oppgave 11: 2
  12. Oppgave 12: A: 12
  13. Oppgave 13: −3
  14. Oppgave 14: 0
  15. Oppgave 15: 3

Oppgavene hører til leksjonene 2.1–2.2 i modulen Grenseverdier og kontinuitet, som øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R1, og bruk formelarket for R1 når du øver.

Les også

Oppgavene er laget av Sophus med de samme oppgavemalene som i kurset, og løsningene er kontrollert av en regnekontroll. Ser du likevel en feil, si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.