Grenseverdier når x går mot uendelig – forklart steg for steg

Matematikk R1 · modul 2 · leksjon 2.3 · eksamen: del 1 og del 2

Hva skjer med en brøk når x blir veldig stor? Her lærer du å dele på den høyeste potensen av x, og hvordan svaret gir en horisontal asymptote.

Dette er leksjon 2.3 Grenseverdier når x går mot uendelig i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Hvorfor 1 delt på x går mot 0

Når x blir større, blir 1 delt på x mindre. Det kommer så nær 0 du vil, men blir aldri 0. Det samme gjelder et tall delt på x², x³ og så videre.

1 delt på 10 = 0,1
1 delt på 100 = 0,01
1 delt på 1000 = 0,001

Metoden

1. Del hvert ledd i teller og nevner på den høyeste potensen av x i nevneren.
2. Et tall delt på en potens av x går mot 0.
3. Bytt ut slike ledd med 0, og regn ut det som står igjen.
4. Er svaret et tall B, er y = B en horisontal asymptote.

Eksempler

Eksempel 1: førstegrad over førstegrad

Finn lim (x → ∞) av 2x + 1 delt på x + 1.

2x + 1 delt på x + 1 = 2 + 1 delt på x/1 + 1/x
2 + 0 delt på 1 + 0 = 2

Svar: Grenseverdien er 2, og y = 2 er en horisontal asymptote.

Grafen kommer nærmere og nærmere linja y = 2 når x blir stor.

Eksempel 2: andregrad over andregrad

Finn lim (x → ∞) av 3x² + 1 delt på x² − 5.

3x² + 1 delt på x² − 5 = 3 + 1 delt på x²/1 − 5/x²
3 + 0 delt på 1 − 0 = 3

Svar: Grenseverdien er 3, og y = 3 er en horisontal asymptote.

Øv selv: 15 oppgaver i grenseverdier og kontinuitet med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å tro at svaret blir ∞ fordi både teller og nevner vokser. Uendelig delt på uendelig kan bli hva som helst.
• Å se bare på konstantleddene og svare 1 delt på −5. Når x er stor, er det leddene med høyest potens som bestemmer.
• Å dele bare telleren på x². Du må dele hvert ledd i både teller og nevner.

På eksamen

Grenseverdier mot uendelig kommer ofte sammen med asymptoter i en funksjonsdrøfting. Vis delingen på den høyeste potensen, og skriv hvilke ledd som går mot 0. Skriv til slutt likningen for asymptoten.

Leksjonen hører til modulen Grenseverdier og kontinuitet og øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R1, og bruk formelarket for R1 når du øver.

Begreper: uendelig horisontal asymptote

Les også

• Hva er en grenseverdi? – forklart steg for steg
• Grenseverdier: hva lim betyr og hvordan du regner
• Kontinuerlige funksjoner og delt funksjonsuttrykk
• Diskontinuerlige funksjoner i praksis – forklart steg for steg
• Grenseverdier og kontinuitet: oppgaver med fasit
• Prøv en gratis oppgave i R1

Mer om matte R1

• Alle modulene i matte R1
• Eksamen i R1: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for R1: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for R1
• Begrepene i R1 forklart
• De 10 vanligste feilene i R1
• Temaer i R1 forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i R1, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.