Kontinuerlige funksjoner og delt funksjonsuttrykk
En funksjon er kontinuerlig i et punkt når grafen henger sammen der, uten hopp eller hull. I R1 sjekker du det med grenseverdier, ofte for funksjoner med delt funksjonsuttrykk.
Lær dette i Sophus: 2.4 Kontinuitet i Matematikk R1, med video og øving. Se leksjonen
Definisjonen
f er kontinuerlig i x = a når
limx→a− f(x) = limx→a+ f(x) = f(a)
Grenseverdien fra venstre, grenseverdien fra høyre og funksjonsverdien må være like.
Delt funksjonsuttrykk
En funksjon med to uttrykk er ikke diskontinuerlig bare fordi den har to uttrykk. Sjekk punktet der uttrykket skifter: regn ut grenseverdien fra hver side med hvert sitt uttrykk.
Eksempler
Eksempel 1: finn konstanten
f(x) = x2 for x < 2, og f(x) = ax − 2 for x ≥ 2. Finn a slik at f blir kontinuerlig.
fra venstre: 22 = 4 · fra høyre: 2a − 2
2a − 2 = 4 · a = 3
Eksempel 2: et sprang
f(x) = x + 1 for x < 0, og f(x) = 2x for x ≥ 0.
fra venstre: 0 + 1 = 1 · fra høyre: 2 · 0 = 0
Grenseverdiene er ulike, så f er ikke kontinuerlig i x = 0. Grafen gjør et sprang.
Eksempel 3: et hull
f(x) = x2 − 1x − 1 er ikke definert i x = 1, men
limx→1 (x + 1)(x − 1)x − 1 = 1 + 1 = 2
Definerer vi f(1) = 2, blir funksjonen kontinuerlig.
Vanlige feil
- Å sjekke bare den ene siden av punktet.
- Å tro at en funksjon er diskontinuerlig fordi den har to uttrykk.
- Å bruke feil uttrykk på hver side av punktet.
På eksamen
Kontinuitet kommer på del 1 i R1, typisk som «bestem a slik at f er kontinuerlig». Den kan kombineres med deriverbarhet: en funksjon må være kontinuerlig for å være deriverbar, men ikke omvendt. Vis begge grenseverdiene og funksjonsverdien, og skriv konklusjonen med ord.
I kurset hører temaet til leksjon 2.4 i modulen Grenseverdier og kontinuitet, som øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R1, og bruk formelarket for R1 når du øver.
Spørsmål og svar
Hva betyr kontinuerlig?
At grafen henger sammen i punktet: grenseverdiene fra venstre og høyre er like, og lik funksjonsverdien.
Hvordan gjør jeg en delt funksjon kontinuerlig?
Sett grenseverdien fra venstre lik grenseverdien fra høyre i punktet der uttrykket skifter, og løs for konstanten.
Er alle kontinuerlige funksjoner deriverbare?
Nei. f(x) = |x| er kontinuerlig i 0, men har en knekk der og er ikke deriverbar.
Les også
- Grenseverdier: hva lim betyr og hvordan du regner
- Definisjonen av den deriverte
- Asymptoter: vertikale og horisontale
- Formelark for R1
- Eksamen i R1
- Alle temaene
Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den. Alt innhold i Sophus skal være riktig.