Hopp til innholdet

Optimering: oppgaver med fasit

Matematikk R1 · Vg2, realfagsmatematikk · 15 oppgaver · eksamen: del 1 og del 2

15 oppgaver i optimering i R1, med løsning steg for steg og fasit. Prøv selv først, og trykk «Vis løsning» når du vil sjekke svaret. Oppgavene er sortert fra kort til lang løsning.

Lær dette i Sophus: 5.5 Optimering, 5.6 Drøfting med eˣ og ln x i Matematikk R1, med video og øving med nye tall hver gang. Se leksjonen

Lettere oppgaver

Oppgave 1

For hvilke x er f(x) = x · ln(x − 3) definert?

  1. A: x > 3
  2. B: x > −3
  3. C: x > 0
  4. D: x ≥ 3
Vis løsning på oppgave 1

Da må x − 3 > 0, altså x > 3.

Fasit: A: x > 3

Fra leksjon 5.6 Drøfting med eˣ og ln x · Se forklaringen i videoen

Oppgave 2

Løs likningen.

eˣ(x + 3) = 0

  1. A: Ingen løsning
  2. B: x = 0 eller x = −3
  3. C: x = 3
  4. D: x = −3
Vis løsning på oppgave 2

eˣ > 0 for alle x, så produktet er 0 bare når x + 3 = 0, altså x = −3.

Fasit: D: x = −3

Fra leksjon 5.6 Drøfting med eˣ og ln x · Se forklaringen i videoen

Oppgave 3

Et rektangel har omkrets 36, og den ene siden er x. Hvilket uttrykk gir arealet?

  1. A: A(x) = x(36 − 2x)
  2. B: A(x) = x(36 − x)
  3. C: A(x) = x(18 − x)
  4. D: A(x) = 2x + 2(18 − x)
Vis løsning på oppgave 3

2x + 2y = 36 gir y = 18 − x, så A(x) = x(18 − x).

Fasit: C: A(x) = x(18 − x)

Fra leksjon 5.5 Optimering · Se forklaringen i videoen

Oppgave 4

Et rektangel har omkrets 24, og den ene siden er x. Hvilket uttrykk gir arealet?

  1. A: A(x) = 2x + 2(12 − x)
  2. B: A(x) = x(24 − x)
  3. C: A(x) = x(12 − x)
  4. D: A(x) = x(24 − 2x)
Vis løsning på oppgave 4

2x + 2y = 24 gir y = 12 − x, så A(x) = x(12 − x).

Fasit: C: A(x) = x(12 − x)

Fra leksjon 5.5 Optimering · Se forklaringen i videoen

Oppgave 5

Finn bunnpunktet.

f(x) = (x − 3) · eˣ

  1. A: (2, e²)
  2. B: (2, 0)
  3. C: (2, −e²)
  4. D: (3, 0)
Vis løsning på oppgave 5

f′(x) = 1 · eˣ + (x − 3)eˣ = eˣ(x − 2). eˣ > 0, så f′(x) = 0 bare når x = 2.

Fortegnet går fra − til +: bunnpunkt. f(2) = −1 · e² = −e².

Fasit: C: (2, −e²)

Fra leksjon 5.6 Drøfting med eˣ og ln x · Se forklaringen i videoen

Middels vanskelige

Oppgave 6

Finn toppunktet.

f(x) = x · e opphøyd i −4x

  1. A: (1 delt på 4, 1 delt på 4e)
  2. B: (1 delt på 4, 1 delt på 4)
  3. C: (0, 0)
  4. D: (−1 delt på 4, −1 delt på 4e)
Vis løsning på oppgave 6

f′(x) = e opphøyd i −4x + x · (−4e opphøyd i −4x) = e opphøyd i −4x(1 − 4x). e opphøyd i −4x > 0, så f′(x) = 0 gir x = 1 delt på 4.

Fortegnet går fra + til −: toppunkt. f(1 delt på 4) = 1 delt på 4 · e⁻¹ = 1 delt på 4e.

Fasit: A: (1 delt på 4, 1 delt på 4e)

Fra leksjon 5.6 Drøfting med eˣ og ln x · Se forklaringen i videoen

Oppgave 7

Finn den største verdien til f når 0 ≤ x ≤ 4.

f(x) = x² − 2x + 5

Vis løsning på oppgave 7

f′(x) = 2x − 2 = 0 gir x = 1, et minimum med f(1) = 4.

Endepunktene: f(0) = 5 og f(4) = 13.

Den største verdien er 13.

Fasit: 13

Fra leksjon 5.5 Optimering · Se forklaringen i videoen

Oppgave 8

Finn bunnpunktet. Funksjonen er definert for x > 0.

f(x) = x ln x − 3x

  1. A: (e³, −e³)
  2. B: (2, −e²)
  3. C: (e², 0)
  4. D: (e², −e²)
Vis løsning på oppgave 8

f′(x) = 1 · ln x + x · 1 delt på x − 3 = ln x + 1 − 3. f′(x) = 0 gir ln x = 2, så x = e².

Fortegnet går fra − til +: bunnpunkt. f(e²) = e² · 2 − 3 · e² = −e².

Fasit: D: (e², −e²)

Fra leksjon 5.6 Drøfting med eˣ og ln x · Se forklaringen i videoen

Oppgave 9

Finn den største verdien til f når 0 ≤ x ≤ 6.

f(x) = x² − 6x + 2

Vis løsning på oppgave 9

f′(x) = 2x − 6 = 0 gir x = 3, et minimum med f(3) = −7.

Endepunktene: f(0) = 2 og f(6) = 2.

Den største verdien er 2.

Fasit: 2

Fra leksjon 5.5 Optimering · Se forklaringen i videoen

Oppgave 10

Et gjerde på 24 meter skal gjerde inn et rektangel mot en vegg. Veggen trenger ikke gjerde. Hvor stort kan arealet bli?

Vis løsning på oppgave 10

A(x) = x(24 − 2x) = 24x − 2x², 0 < x < 12.

A′(x) = 24 − 4x = 0 gir x = 6, et maksimum.

A(6) = 6 · 12 = 72 m².

Fasit: 72 m²

Fra leksjon 5.5 Optimering · Se forklaringen i videoen

Mer krevende

Oppgave 11

To positive tall har sum 12. Hvor stort kan produktet bli?

Vis løsning på oppgave 11

y = 12 − x gir P(x) = x(12 − x) = 12x − x², 0 < x < 12.

P′(x) = 12 − 2x = 0 gir x = 6.

P′ går fra + til −, så det største produktet er 6 · 6 = 36.

Fasit: 36

Fra leksjon 5.5 Optimering · Se forklaringen i videoen

Oppgave 12

Et gjerde på 80 meter skal gjerde inn et rektangel mot en vegg. Veggen trenger ikke gjerde. Hvor stort kan arealet bli?

Vis løsning på oppgave 12

A(x) = x(80 − 2x) = 80x − 2x², 0 < x < 40.

A′(x) = 80 − 4x = 0 gir x = 20, et maksimum.

A(20) = 20 · 40 = 800 m².

Fasit: 800 m²

Fra leksjon 5.5 Optimering · Se forklaringen i videoen

Oppgave 13

To positive tall har sum 20. Hvor stort kan produktet bli?

Vis løsning på oppgave 13

y = 20 − x gir P(x) = x(20 − x) = 20x − x², 0 < x < 20.

P′(x) = 20 − 2x = 0 gir x = 10.

P′ går fra + til −, så det største produktet er 10 · 10 = 100.

Fasit: 100

Fra leksjon 5.5 Optimering · Se forklaringen i videoen

Oppgave 14

Et rektangel har omkrets 16. Hvor stort kan arealet bli?

Vis løsning på oppgave 14

y = 8 − x, så A(x) = x(8 − x) = 8x − x², 0 < x < 8.

A′(x) = 8 − 2x = 0 gir x = 4.

A′ går fra + til −, så A(4) = 4 · 4 = 16 er størst.

Fasit: 16

Fra leksjon 5.5 Optimering · Se forklaringen i videoen

Oppgave 15

Et rektangel har omkrets 12. Hvor stort kan arealet bli?

Vis løsning på oppgave 15

y = 6 − x, så A(x) = x(6 − x) = 6x − x², 0 < x < 6.

A′(x) = 6 − 2x = 0 gir x = 3.

A′ går fra + til −, så A(3) = 3 · 3 = 9 er størst.

Fasit: 9

Fra leksjon 5.5 Optimering · Se forklaringen i videoen

Fasit

Vis fasit til alle oppgavene
  1. Oppgave 1: A: x > 3
  2. Oppgave 2: D: x = −3
  3. Oppgave 3: C: A(x) = x(18 − x)
  4. Oppgave 4: C: A(x) = x(12 − x)
  5. Oppgave 5: C: (2, −e²)
  6. Oppgave 6: A: (1 delt på 4, 1 delt på 4e)
  7. Oppgave 7: 13
  8. Oppgave 8: D: (e², −e²)
  9. Oppgave 9: 2
  10. Oppgave 10: 72 m²
  11. Oppgave 11: 36
  12. Oppgave 12: 800 m²
  13. Oppgave 13: 100
  14. Oppgave 14: 16
  15. Oppgave 15: 9

Oppgavene hører til leksjonene 5.5–5.6 i modulen Funksjonsdrøfting, som øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R1, og bruk formelarket for R1 når du øver.

Les også

Oppgavene er laget av Sophus med de samme oppgavemalene som i kurset, og løsningene er kontrollert av en regnekontroll. Ser du likevel en feil, si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.