Temaer › Matematikk S2

Logistisk vekst og bæreevne

Matematikk S2 · Vg3, samfunnsfaglig matematikk · eksamen: del 2

Logistisk vekst starter nesten eksponentielt, men flater ut mot en øvre grense, bæreevnen. Den beskriver for eksempel en populasjon med begrenset mat eller spredning av en nyhet.

Lær dette i Sophus: 6.2 Logistisk vekst i Matematikk S2, med video og øving. Se leksjonen

Modellen

N(t) = K1 + a · e^−bt

K er bæreevnen: N(t) → K når t → ∞, fordi e^−bt → 0. Startverdien er N(0) = K1 + a.

Raskest vekst

Veksten er raskest i vendepunktet, når N = K2. Der er vekstfarten b · K4. Du finner tiden ved å løse a · e^−bt = 1.

Logistisk og eksponentiell vekst

Når t er liten, er a · e^−bt stor, og modellen oppfører seg nesten som eksponentiell vekst. Når N nærmer seg K, flater veksten ut. Det passer med virkeligheten for en bestand med begrenset mat og plass, eller en nyhet som etter hvert alle har hørt. Vekstfarten kan skrives N′(t) = b · N · (1 − NK), som viser at veksten er null både når N er 0 og når N er K.

Eksempler

Eksempel 1: les av modellen

N(t) = 1 0001 + 49e^−0,5t, der t er uker.

N(0) = 1 00050 = 20  ·  bæreevne K = 1 000

Eksempel 2: en verdi

N(10) = 1 0001 + 49e⁻⁵ ≈ 751,8

Etter 10 uker er det omtrent 752 individer.

Eksempel 3: når er veksten raskest?

49e^−0,5t = 1  ·  t = ln 490,5 ≈ 7,78

Etter omtrent 7,8 uker er det 500 individer, og veksten er raskest: 0,5 · 1 0004 = 125 individer per uke.

Vanlige feil

• Å tro at K er startverdien. K er grensen modellen nærmer seg.
• Å glemme minus i eksponenten, så modellen vokser uten grense.
• Å finne raskest vekst der N er størst. Den er der N = K2.

På eksamen

Logistisk vekst kommer på del 2 i S2 og R1. Typisk skal du lese av startverdi og bæreevne, regne ut en verdi og finne når veksten er raskest. Fra våren 2027 er del 2 uten datamaskin, så du løser likningen med ln for hånd og regner ut på kalkulatoren.

I kurset hører temaet til leksjon 6.2 i modulen Vekstmodeller, som øves til del 2. Les mer om eksamen i S2, og bruk formelarket for S2 når du øver.

Spørsmål og svar

Les også

• Eksponentiell vekst og eksponentielle modeller · Matematikk 2P
• Vendepunkt og den andrederiverte · Matematikk R1
• Derivasjon av eˣ, aˣ og ln x · Matematikk R1
• Formelark for S2
• Eksamen i S2
• Alle temaene

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den. Alt innhold i Sophus skal være riktig.