Varians og standardavvik for en stokastisk variabel

Matematikk S2 · Vg3, samfunnsfaglig matematikk · eksamen: del 1 og del 2

Variansen og standardavviket sier hvor mye en stokastisk variabel varierer rundt forventningsverdien. To spill kan ha samme forventning, men svært ulik risiko.

Lær dette i Sophus: 7.2 Varians og standardavvik i Matematikk S2, med video og øving. Se leksjonen

Formlene

Var(X) = Σ (x − μ)² · P(X = x) · SD(X) = σ = √Var(X)

Finn μ først, regn ut (x − μ)² for hver verdi, gang med sannsynligheten og legg sammen.

Regler

Var(aX + b) = a² · Var(X) · SD(aX + b) = |a| · SD(X)

Å legge til et tall b flytter fordelingen, men endrer ikke spredningen.

En raskere formel

Variansen kan også regnes som Var(X) = E(X²) − μ², der E(X²) = Σ x² · P(X = x). For terningen er E(X²) = 916, og 916 − 3,5² = 3512 ≈ 2,917, som i eksempel 1. Formelen er raskere når μ ikke er et helt tall. For to uavhengige variabler er Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y). Det er grunnen til at standardavviket til en sum vokser med √n og ikke med n.

Eksempler

Eksempel 1: en terning

μ = 3,5. Avvikene i andre er 6,25, 2,25, 0,25, 0,25, 2,25 og 6,25.

Var(X) = 17,56 ≈ 2,917 · SD(X) ≈ 1,708

Eksempel 2: en tabell

X er 0, 1 eller 2 med sannsynlighet 0,5, 0,3 og 0,2.

μ = 0 · 0,5 + 1 · 0,3 + 2 · 0,2 = 0,7

Var(X) = 0,49 · 0,5 + 0,09 · 0,3 + 1,69 · 0,2 = 0,61 · SD(X) ≈ 0,781

Eksempel 3: lineær omforming

Y = 2X + 3 med X fra eksempel 2.

Var(Y) = 4 · 0,61 = 2,44 · SD(Y) = 2 · 0,781 ≈ 1,562

Vanlige feil

Å glemme å gange med sannsynlighetene.
Å glemme kvadratroten når du skal finne standardavviket.
Å skrive Var(2X) = 2 Var(X). Det skal være 4 Var(X).

På eksamen

Varians og standardavvik kommer i S2 sammen med forventningsverdi, og trengs videre i binomisk fordeling, sentralgrensesetningen og hypotesetesting. På del 1 er tallene små. Fra våren 2027 regnes del 2 med en enkel kalkulator, så sett opp en tabell med kolonner for x, P, x − μ og (x − μ)² · P.

I kurset hører temaet til leksjon 7.2 i modulen Stokastiske variabler, som øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i S2, og bruk formelarket for S2 når du øver.

Spørsmål og svar

Hva er varians?

Den forventede verdien av kvadratet av avviket fra μ: Var(X) = Σ (x − μ)² · P(X = x).

Hva er forskjellen på varians og standardavvik?

Standardavviket er kvadratroten av variansen, og har samme enhet som X.

Hva er Var(aX + b)?

a² · Var(X). Konstanten b påvirker ikke spredningen.

Les også

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den. Alt innhold i Sophus skal være riktig.