Hopp til innholdet

Parameterframstilling og bevegelse: oppgaver med fasit

Matematikk R2 · Vg3, realfagsmatematikk · 15 oppgaver · eksamen: del 1 og del 2

15 oppgaver i parameterframstilling og bevegelse i R2, med løsning steg for steg og fasit. Prøv selv først, og trykk «Vis løsning» når du vil sjekke svaret. Oppgavene er sortert fra kort til lang løsning.

Lær dette i Sophus: 9.1 Parameterframstilling av kurver, 9.2 Fart og akselerasjon langs kurver, 9.3 Bevegelse i rommet i Matematikk R2, med video og øving med nye tall hver gang. Se leksjonen

Lettere oppgaver

Oppgave 1

r(t) = [4 cos t, 4 sin t]. Finn fartsvektoren v(t).

  1. A: [−4 sin t, 4 cos t]
  2. B: [−4 cos t, −4 sin t]
  3. C: [4 sin t, −4 cos t]
  4. D: [4 sin t, 4 cos t]
Vis løsning på oppgave 1

Deriver hver koordinat: [−4 sin t, 4 cos t].

Fasit: A: [−4 sin t, 4 cos t]

Fra leksjon 9.2 Fart og akselerasjon langs kurver · Se forklaringen i videoen

Oppgave 2

r(t) = [x(t), y(t), z(t)] for en ball. Hvilken koordinat er høyden over bakken?

  1. A: z
  2. B: x
  3. C: y
  4. D: lengden av r(t)
Vis løsning på oppgave 2

Bakken er xy-planet, så høyden er z.

Fasit: A: z

Fra leksjon 9.3 Bevegelse i rommet · Se forklaringen i videoen

Oppgave 3

Kurven er x = 3 cos t − 2, y = 3 sin t + 1. Finn sentrum og radius.

  1. A: sentrum (2, −1), radius 3
  2. B: sentrum (0, 0), radius 3
  3. C: sentrum (−2, 1), radius 9
  4. D: sentrum (−2, 1), radius 3
Vis løsning på oppgave 3

(x + 2)² + (y − 1)² = 9: sentrum (−2, 1), radius 3.

Fasit: D: sentrum (−2, 1), radius 3

Fra leksjon 9.1 Parameterframstilling av kurver · Se forklaringen i videoen

Oppgave 4

Kurven er x = 2 cos t, y = 2 sin t. Hva er radien?

Vis løsning på oppgave 4

x² + y² = 4(cos² t + sin² t) = 4, så radien er 2.

Fasit: 2

Fra leksjon 9.1 Parameterframstilling av kurver · Se forklaringen i videoen

Oppgave 5

Eliminer t: x = t − 2, y = 2t.

  1. A: y = 2x
  2. B: y = 2(x + 2)
  3. C: y = x − 2
  4. D: y = 2(x − 2)
Vis løsning på oppgave 5

t = x + 2, så y = 2(x + 2).

Fasit: B: y = 2(x + 2)

Fra leksjon 9.1 Parameterframstilling av kurver · Se forklaringen i videoen

Middels vanskelige

Oppgave 6

r(t) = [9 cos t, 9 sin t]. Hva er banefarten?

Vis løsning på oppgave 6

|v| = √(81 sin² t + 81 cos² t) = 9.

Fasit: 9

Fra leksjon 9.2 Fart og akselerasjon langs kurver · Se forklaringen i videoen

Oppgave 7

I en jevn sirkelbevegelse r(t) = [r cos t, r sin t]: hvor peker akselerasjonen?

  1. A: bort fra sentrum
  2. B: den er null
  3. C: langs farten
  4. D: mot sentrum
Vis løsning på oppgave 7

a(t) = [−r cos t, −r sin t] = −r(t), som peker mot sentrum.

Fasit: D: mot sentrum

Fra leksjon 9.2 Fart og akselerasjon langs kurver · Se forklaringen i videoen

Oppgave 8

En ball lander i x = 5, y = 12. Hvor langt er det fra startpunktet i origo, langs bakken?

Vis løsning på oppgave 8

√(25 + 144) = √169 = 13 m.

Fasit: 13 m

Fra leksjon 9.3 Bevegelse i rommet · Se forklaringen i videoen

Oppgave 9

Kurven er x = 3 cos t, y = 3 sin t. Hva er radien?

Vis løsning på oppgave 9

x² + y² = 9(cos² t + sin² t) = 9, så radien er 3.

Fasit: 3

Fra leksjon 9.1 Parameterframstilling av kurver · Se forklaringen i videoen

Oppgave 10

Eliminer t: x = t + 2, y = 2t.

  1. A: y = x + 2
  2. B: y = 2(x − 2)
  3. C: y = 2(x + 2)
  4. D: y = 2x
Vis løsning på oppgave 10

t = x − 2, så y = 2(x − 2).

Fasit: B: y = 2(x − 2)

Fra leksjon 9.1 Parameterframstilling av kurver · Se forklaringen i videoen

Mer krevende

Oppgave 11

r(t) = [t, t²]. Finn banefarten når t = 1.

  1. A: [1, 2]
  2. B: √5
  3. C: 3
  4. D: √2
Vis løsning på oppgave 11

v(1) = [1, 2], |v| = √(1 + 4) = √5.

Fasit: B: √5

Fra leksjon 9.2 Fart og akselerasjon langs kurver · Se forklaringen i videoen

Oppgave 12

Høyden er z(t) = 10t − 5t². Når lander ballen?

Vis løsning på oppgave 12

t(10 − 5t) = 0 gir t = 0 eller t = 2.

Ballen lander etter 2 s.

Fasit: 2 s

Fra leksjon 9.3 Bevegelse i rommet · Se forklaringen i videoen

Oppgave 13

Hvilket punkt på kurven x = 5 cos t, y = 5 sin t hører til t = 0?

  1. A: (0, 0)
  2. B: (1, 0)
  3. C: (5, 0)
  4. D: (0, 5)
Vis løsning på oppgave 13

x = 5 cos 0 = 5 · 1 og y = 5 sin 0 = 5 · 0.

Punktet er (5, 0).

Fasit: C: (5, 0)

Fra leksjon 9.1 Parameterframstilling av kurver · Se forklaringen i videoen

Oppgave 14

Høyden er z(t) = 30t − 5t². Hvor høyt kommer ballen?

Vis løsning på oppgave 14

z′(t) = 30 − 10t = 0 gir t = 3. z(3) = 90 − 45 = 45 m.

Fasit: 45 m

Fra leksjon 9.3 Bevegelse i rommet · Se forklaringen i videoen

Oppgave 15

Hvilket punkt på kurven x = 2 cos t, y = 2 sin t hører til t = 3π delt på 2?

  1. A: (0, −1)
  2. B: (2, 0)
  3. C: (−2, 0)
  4. D: (0, −2)
Vis løsning på oppgave 15

x = 2 cos 3π delt på 2 = 2 · 0 og y = 2 sin 3π delt på 2 = 2 · (−1).

Punktet er (0, −2).

Fasit: D: (0, −2)

Fra leksjon 9.1 Parameterframstilling av kurver · Se forklaringen i videoen

Fasit

Vis fasit til alle oppgavene
  1. Oppgave 1: A: [−4 sin t, 4 cos t]
  2. Oppgave 2: A: z
  3. Oppgave 3: D: sentrum (−2, 1), radius 3
  4. Oppgave 4: 2
  5. Oppgave 5: B: y = 2(x + 2)
  6. Oppgave 6: 9
  7. Oppgave 7: D: mot sentrum
  8. Oppgave 8: 13 m
  9. Oppgave 9: 3
  10. Oppgave 10: B: y = 2(x − 2)
  11. Oppgave 11: B: √5
  12. Oppgave 12: 2 s
  13. Oppgave 13: C: (5, 0)
  14. Oppgave 14: 45 m
  15. Oppgave 15: D: (0, −2)

Oppgavene hører til leksjonene 9.1–9.3 i modulen Kurver og bevegelse, som øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.

Les også

Oppgavene er laget av Sophus med de samme oppgavemalene som i kurset, og løsningene er kontrollert av en regnekontroll. Ser du likevel en feil, si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.