Fart og akselerasjon langs kurver – forklart steg for steg

Matematikk R2 · modul 9 · leksjon 9.2 · eksamen: del 1 og del 2

Når posisjonen er gitt med sinus og cosinus, deriverer du hver koordinat for seg. Her lærer du å finne fartsvektor, banefart og akselerasjon i en sirkelbevegelse.

Dette er leksjon 9.2 Fart og akselerasjon langs kurver i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Deriver hver koordinat

Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren, og akselerasjonen er den deriverte av fartsvektoren. Du deriverer hver koordinat for seg, med reglene (sin t)′ = cos t og (cos t)′ = −sin t.

Reglene

1. v(t) = r′(t) og a(t) = v′(t).
2. Banefarten er lengden av fartsvektoren.
3. I en jevn sirkelbevegelse peker akselerasjonen mot sentrum.

Hvorfor peker akselerasjonen mot sentrum?

Banefarten er den samme hele tiden, men retningen endrer seg. Det er endringen i retning som gir akselerasjonen. I en sirkel snur fartsvektoren hele tiden innover, og derfor peker akselerasjonen mot sentrum.

Eksempler

Eksempel 1: banefart i en sirkel

r(t) = [3 cos t, 3 sin t]. Finn banefarten.

√((−3 sin t)² + (3 cos t)²) = √(9 sin² t + 9 cos² t)
√(9 sin² t + 9 cos² t) = √9 = 3

Svar: v(t) = [−3 sin t, 3 cos t], og banefarten er 3 hele tiden.

Eksempel 2: akselerasjonen

Finn akselerasjonen til r(t) = [3 cos t, 3 sin t], og lengden av den.

√((−3 cos t)² + (−3 sin t)²) = 3

Svar: a(t) = [−3 cos t, −3 sin t] = −r(t). Den peker mot sentrum og har lengde 3.

Øv selv: 15 oppgaver i parameterframstilling og bevegelse med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å derivere cos t til sin t uten minus. Da peker fartsvektoren feil vei.
• Å svare med fartsvektoren når oppgaven spør etter banefarten. Banefarten er et tall.
• Å glemme enhetsformelen når du forenkler lengden.

På eksamen

Fart og akselerasjon langs kurver kommer på del 1 og del 2. Skriv v(t) og a(t) koordinat for koordinat, og vis hvordan sin² t + cos² t = 1 forenkler lengden.

Leksjonen hører til modulen Kurver og bevegelse og øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.

Begreper: fartsvektor banefart akselerasjon

Les også

• Parameterframstilling av kurver – forklart steg for steg
• Bevegelse i rommet – forklart steg for steg
• Parameterframstilling og bevegelse: oppgaver med fasit
• Prøv en gratis oppgave i R2

Mer om matte R2

• Alle modulene i matte R2
• Eksamen i R2: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for R2: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for R2
• Begrepene i R2 forklart
• De 10 vanligste feilene i R2
• Temaer i R2 forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i R2, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.