Bevegelse i rommet – forklart steg for steg

Matematikk R2 · modul 9 · leksjon 9.3 · eksamen: del 2

Med tre koordinater kan du beskrive bevegelse i rommet, som en ball som sparkes. Her lærer du å finne når ballen lander, hvor langt unna, og hvor høyt den kommer.

Dette er leksjon 9.3 Bevegelse i rommet i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Et kast i rommet

x og y sier hvor på bakken ballen er, og z sier hvor høyt den er. Ballen lander når z = 0. Avstanden langs bakken finner du med Pytagoras, med x og y.

Reglene

1. Posisjonen har tre koordinater: x, y og z.
2. Ballen er på bakken når z er 0.
3. Avstanden langs bakken er √(x² + y²).

Eksempler

Eksempel 1: hvor lander ballen?

En ball har posisjonen r(t) = [4t, 3t, 20t − 5t²]. Hvor langt fra startpunktet lander den langs bakken?

20t − 5t² = t(20 − 5t)
20 − 5 · 4 = 0
4 · 4 = 16
3 · 4 = 12
√(16² + 12²) = 20

Svar: Ballen lander 20 meter fra startpunktet.

z = 0 gir t = 0 eller t = 4. Ved t = 0 blir ballen sparket, så du bruker t = 4.

Eksempel 2: største høyde

Hvor høyt kommer ballen?

20 − 10t = 0
t = 2
20 · 2 − 5 · 2² = 20

Svar: Ballen kommer 20 meter opp.

Høyden er størst når z′(t) = 20 − 10t = 0.

Øv selv: 15 oppgaver i parameterframstilling og bevegelse med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å bruke t = 0, som også gir z = 0. Da har ballen ikke flydd ennå.
• Å glemme y og svare 16 meter. Avstanden langs bakken bruker både x og y.
• Å blande banefart og avstand. Avstanden langs bakken er en lengde i meter.

På eksamen

Bevegelse i rommet kommer på del 2. Fra våren 2027 har du ikke datamaskin, så du løser z = 0 for hånd og regner ut avstanden på kalkulatoren. Forklar hvilken løsning av t du bruker, og hvorfor.

Leksjonen hører til modulen Kurver og bevegelse og øves til del 2. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.

Begreper: bevegelse i rommet bane

Les også

• Parameterframstilling av kurver – forklart steg for steg
• Fart og akselerasjon langs kurver – forklart steg for steg
• Parameterframstilling og bevegelse: oppgaver med fasit
• Prøv en gratis oppgave i R2

Mer om matte R2

• Alle modulene i matte R2
• Eksamen i R2: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for R2: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for R2
• Begrepene i R2 forklart
• De 10 vanligste feilene i R2
• Temaer i R2 forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i R2, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.