Hopp til innholdet

Induksjonsbevis: oppgaver med fasit

Matematikk R2 · Vg3, realfagsmatematikk · 15 oppgaver · eksamen: del 1 og del 2

15 oppgaver i induksjonsbevis i R2, med løsning steg for steg og fasit. Prøv selv først, og trykk «Vis løsning» når du vil sjekke svaret. Oppgavene er sortert fra kort til lang løsning.

Lær dette i Sophus: 4.2 Induksjonsbevis, 4.3 Induksjon med rekker og delelighet i Matematikk R2, med video og øving med nye tall hver gang. Se leksjonen

Lettere oppgaver

Oppgave 1

Hva er induksjonsantakelsen?

  1. A: at påstanden stemmer for n = k + 1
  2. B: at påstanden stemmer for alle n
  3. C: at påstanden er usann
  4. D: at påstanden stemmer for n = k
Vis løsning på oppgave 1

Du antar at påstanden stemmer for et tall k, og bruker det til å vise den for k + 1.

Fasit: D: at påstanden stemmer for n = k

Fra leksjon 4.2 Induksjonsbevis · Se forklaringen i videoen

Oppgave 2

I induksjonstrinnet for 1 + 2 + … + n: hvilket ledd legger du til summen opp til k?

  1. A: n + 1
  2. B: 2k + 1
  3. C: k
  4. D: k + 1
Vis løsning på oppgave 2

Summen opp til k + 1 har ett ledd til: k + 1.

Fasit: D: k + 1

Fra leksjon 4.2 Induksjonsbevis · Se forklaringen i videoen

Oppgave 3

Formelen 1 + 2 + … + n = n(n + 1) delt på 2. Hva gir den for n = 12?

Vis løsning på oppgave 3

12 · 13 delt på 2 = 78.

Fasit: 78

Fra leksjon 4.2 Induksjonsbevis · Se forklaringen i videoen

Oppgave 4

Leddene i en rekke er aₙ = 5n + 2. Hva er leddet nummer k + 1?

  1. A: 5k + 7
  2. B: 5k + 5
  3. C: 5k + 2
  4. D: 5k + 3
Vis løsning på oppgave 4

5(k + 1) + 2 = 5k + 7.

Fasit: A: 5k + 7

Fra leksjon 4.3 Induksjon med rekker og delelighet · Se forklaringen i videoen

Oppgave 5

Skriv k² + 2k + 1 som et kvadrat.

  1. A: k(k + 2)
  2. B: (k + 2)²
  3. C: (k + 1)²
  4. D: (k − 1)²
Vis løsning på oppgave 5

Første kvadratsetning: k² + 2k + 1 = (k + 1)².

Fasit: C: (k + 1)²

Fra leksjon 4.3 Induksjon med rekker og delelighet · Se forklaringen i videoen

Middels vanskelige

Oppgave 6

Hva viser du i grunntrinnet i et induksjonsbevis?

  1. A: at påstanden stemmer for alle n
  2. B: at påstanden stemmer for n = 1
  3. C: at påstanden stemmer for n = k + 1, når den stemmer for n = k
  4. D: at påstanden stemmer for n = 1, 2 og 3
Vis løsning på oppgave 6

I grunntrinnet viser du at påstanden stemmer for n = 1.

Fasit: B: at påstanden stemmer for n = 1

Fra leksjon 4.2 Induksjonsbevis · Se forklaringen i videoen

Oppgave 7

Formelen 1 + 2 + … + n = n(n + 1) delt på 2. Hva gir den for n = 6?

Vis løsning på oppgave 7

6 · 7 delt på 2 = 21.

Fasit: 21

Fra leksjon 4.2 Induksjonsbevis · Se forklaringen i videoen

Oppgave 8

Leddene i en rekke er aₙ = 2n + 3. Hva er leddet nummer k + 1?

  1. A: 2k + 3
  2. B: 2k + 4
  3. C: 2k + 5
  4. D: 2k + 2
Vis løsning på oppgave 8

2(k + 1) + 3 = 2k + 5.

Fasit: C: 2k + 5

Fra leksjon 4.3 Induksjon med rekker og delelighet · Se forklaringen i videoen

Oppgave 9

Formelen 1 + 2 + … + n = n(n + 1) delt på 2. Hva gir den for n = 5?

Vis løsning på oppgave 9

5 · 6 delt på 2 = 15.

Fasit: 15

Fra leksjon 4.2 Induksjonsbevis · Se forklaringen i videoen

Oppgave 10

Leddene i en rekke er aₙ = 5n + 1. Hva er leddet nummer k + 1?

  1. A: 5k + 2
  2. B: 5k + 6
  3. C: 5k + 5
  4. D: 5k + 1
Vis løsning på oppgave 10

5(k + 1) + 1 = 5k + 6.

Fasit: B: 5k + 6

Fra leksjon 4.3 Induksjon med rekker og delelighet · Se forklaringen i videoen

Mer krevende

Oppgave 11

Hva viser du i induksjonstrinnet i et induksjonsbevis?

  1. A: at påstanden stemmer for n = 1
  2. B: at påstanden stemmer for n = 1, 2 og 3
  3. C: at påstanden stemmer for alle n
  4. D: at påstanden stemmer for n = k + 1, når den stemmer for n = k
Vis løsning på oppgave 11

I induksjonstrinnet viser du at påstanden stemmer for n = k + 1, når den stemmer for n = k.

Fasit: D: at påstanden stemmer for n = k + 1, når den stemmer for n = k

Fra leksjon 4.2 Induksjonsbevis · Se forklaringen i videoen

Oppgave 12

Skriv 7ᵏ⁺¹ − 1 slik at 7ᵏ − 1 står i uttrykket.

  1. A: 7ᵏ − 1 + 7
  2. B: 7(7ᵏ − 1)
  3. C: 7(7ᵏ − 1) + 6
  4. D: (7ᵏ − 1) + 6
Vis løsning på oppgave 12

7ᵏ⁺¹ − 1 = 7 · 7ᵏ − 7 + 6 = 7(7ᵏ − 1) + 6.

Fasit: C: 7(7ᵏ − 1) + 6

Fra leksjon 4.3 Induksjon med rekker og delelighet · Se forklaringen i videoen

Oppgave 13

Regn ut 7³ − 1. (Det skal være delelig med 6.)

Vis løsning på oppgave 13

7³ − 1 = 342 = 6 · 57.

Fasit: 342

Fra leksjon 4.3 Induksjon med rekker og delelighet · Se forklaringen i videoen

Oppgave 14

Skriv 5ᵏ⁺¹ − 1 slik at 5ᵏ − 1 står i uttrykket.

  1. A: 5(5ᵏ − 1)
  2. B: 5(5ᵏ − 1) + 4
  3. C: 5ᵏ − 1 + 5
  4. D: (5ᵏ − 1) + 4
Vis løsning på oppgave 14

5ᵏ⁺¹ − 1 = 5 · 5ᵏ − 5 + 4 = 5(5ᵏ − 1) + 4.

Fasit: B: 5(5ᵏ − 1) + 4

Fra leksjon 4.3 Induksjon med rekker og delelighet · Se forklaringen i videoen

Oppgave 15

Regn ut 3² − 1. (Det skal være delelig med 2.)

Vis løsning på oppgave 15

3² − 1 = 8 = 2 · 4.

Fasit: 8

Fra leksjon 4.3 Induksjon med rekker og delelighet · Se forklaringen i videoen

Fasit

Vis fasit til alle oppgavene
  1. Oppgave 1: D: at påstanden stemmer for n = k
  2. Oppgave 2: D: k + 1
  3. Oppgave 3: 78
  4. Oppgave 4: A: 5k + 7
  5. Oppgave 5: C: (k + 1)²
  6. Oppgave 6: B: at påstanden stemmer for n = 1
  7. Oppgave 7: 21
  8. Oppgave 8: C: 2k + 5
  9. Oppgave 9: 15
  10. Oppgave 10: B: 5k + 6
  11. Oppgave 11: D: at påstanden stemmer for n = k + 1, når den stemmer for n = k
  12. Oppgave 12: C: 7(7ᵏ − 1) + 6
  13. Oppgave 13: 342
  14. Oppgave 14: B: 5(5ᵏ − 1) + 4
  15. Oppgave 15: 8

Oppgavene hører til leksjonene 4.2–4.3 i modulen Bevis, som øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R2, og bruk formelarket for R2 når du øver.

Les også

Oppgavene er laget av Sophus med de samme oppgavemalene som i kurset, og løsningene er kontrollert av en regnekontroll. Ser du likevel en feil, si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.