Vinkler og ortogonale vektorer – forklart steg for steg

Matematikk R1 · modul 7 · leksjon 7.4 · eksamen: del 1 og del 2

Skalarproduktet sier noe om vinkelen mellom to vektorer. Her lærer du å regne ut vinkelen, og å vise at to vektorer står vinkelrett på hverandre.

Dette er leksjon 7.4 Vinkler og ortogonale vektorer i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen

Vinkelrett

To vektorer står vinkelrett på hverandre når skalarproduktet er 0. For [2, 3] og [−3, 2] er skalarproduktet 2 · (−3) + 3 · 2 = 0, så de står vinkelrett.

2 · (−3) + 3 · 2 = 0

Vinkelen

Del skalarproduktet på produktet av lengdene. Da får du cosinus til vinkelen:

cos v = a · b delt på |a| · |b|

Bruk cos opphøyd i ⁻¹ på kalkulatoren for å finne v.

Negativt skalarprodukt

Er skalarproduktet negativt, er vinkelen større enn 90°. For [4, 3] og [−3, 1] er skalarproduktet −9, og vinkelen blir omtrent 124,7°.

4 · (−3) + 3 · 1 = −9
√(4² + 3²) = 5
cos v = −9 delt på 5√10
v ≈ 124,7

Eksempler

Eksempel 1: vinkelrett eller ikke

Står [2, 1] og [1, −2] vinkelrett på hverandre?

2 · 1 + 1 · (−2) = 0

Svar: Ja. Skalarproduktet er 0, så vektorene står vinkelrett på hverandre.

Eksempel 2: vinkelen mellom to vektorer

Finn vinkelen mellom [3, 1] og [1, 2].

3 · 1 + 1 · 2 = 5
√(3² + 1²) = √10
√(1² + 2²) = √5
cos v = 5 delt på √10 · √5
v = 45

Svar: Vinkelen er 45°.

Øv selv: 15 oppgaver i skalarprodukt med fasit og løsning steg for steg.

Vanlige feil

• Å tro at vektorene står vinkelrett når lengdene er like. [3, 4] og [5, 0] er like lange, men skalarproduktet er 15.
• Å glemme å dele på lengdene når vinkelen skal finnes.
• Å bruke cos i stedet for cos opphøyd i ⁻¹ på kalkulatoren.

På eksamen

Vinkler mellom vektorer kommer på del 2, der du bruker cos opphøyd i ⁻¹ på kalkulatoren. Fra våren 2027 er det en enkel vitenskapelig kalkulator, så sjekk at den står i grader. Oppgaver om vinkelrett, som «finn t slik at vektorene står vinkelrett», kommer også på del 1.

Leksjonen hører til modulen Vektorer og øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R1, og bruk formelarket for R1 når du øver.

Begreper: vinkel ortogonal vinkelrett

Les også

• Hva er en vektor? – forklart steg for steg
• Regning med vektorer – forklart steg for steg
• Skalarprodukt av vektorer
• Parallelle vektorer – forklart steg for steg
• Skalarprodukt: oppgaver med fasit
• Prøv en gratis oppgave i R1

Mer om matte R1

• Alle modulene i matte R1
• Eksamen i R1: del 1, del 2 og hjelpemidler
• Eksamensguide for R1: oppgavetypene med eksempler
• Formelark for R1
• Begrepene i R1 forklart
• De 10 vanligste feilene i R1
• Temaer i R1 forklart med eksempler
• Oppgaver med fasit i R1, ordnet etter tema

Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.