Hopp til innholdet

Skalarprodukt: oppgaver med fasit

Matematikk R1 · Vg2, realfagsmatematikk · 15 oppgaver · eksamen: del 1 og del 2

15 oppgaver i skalarprodukt i R1, med løsning steg for steg og fasit. Prøv selv først, og trykk «Vis løsning» når du vil sjekke svaret. Oppgavene er sortert fra kort til lang løsning.

Lær dette i Sophus: 7.3 Skalarprodukt, 7.4 Vinkler og ortogonale vektorer, 7.5 Parallelle vektorer i Matematikk R1, med video og øving med nye tall hver gang. Se leksjonen

Lettere oppgaver

Oppgave 1

En elev regner ut [5, 6] · [3, 4] = 5 · 4 + 6 · 3 = 38. Hva er riktig svar?

Vis løsning på oppgave 1

Første med første og andre med andre: 5 · 3 + 6 · 4 = 39.

Fasit: 39

Fra leksjon 7.3 Skalarprodukt · Se forklaringen i videoen

Oppgave 2

Regn ut [−3, 2] · [−1, −5].

Vis løsning på oppgave 2

−3 · (−1) + 2 · (−5) = 3 − 10 = −7.

Fasit: −7

Fra leksjon 7.3 Skalarprodukt · Se forklaringen i videoen

Oppgave 3

Regn ut skalarproduktet [1, 2] · [−2, 1].

  1. A: −4
  2. B: [−2, 2]
  3. C: 0
  4. D: −3
Vis løsning på oppgave 3

1 · (−2) + 2 · 1 = 0.

Svaret er et tall.

Fasit: C: 0

Fra leksjon 7.3 Skalarprodukt · Se forklaringen i videoen

Oppgave 4

Står [−3, 1] og [−1, −3] vinkelrett på hverandre?

  1. A: Nei, skalarproduktet er 8
  2. B: Nei, fordi de ikke er like lange
  3. C: Ja, fordi de er like lange
  4. D: Ja, skalarproduktet er 0
Vis løsning på oppgave 4

−3 · (−1) + 1 · (−3) = 0.

Skalarproduktet er 0, så vektorene står vinkelrett.

Fasit: D: Ja, skalarproduktet er 0

Fra leksjon 7.4 Vinkler og ortogonale vektorer · Se forklaringen i videoen

Oppgave 5

Finn cos v, der v er vinkelen mellom [4, 3] og [5, 0]. Svar med desimaltall.

Vis løsning på oppgave 5

Skalarproduktet er 20, og begge vektorene har lengde 5. cos v = 20 delt på 5 · 5 = 0,8.

Fasit: 0,8

Fra leksjon 7.4 Vinkler og ortogonale vektorer · Se forklaringen i videoen

Middels vanskelige

Oppgave 6

Hva betyr det at vektorene u og v er parallelle?

  1. A: u · v = 0
  2. B: u og v har samme første koordinat
  3. C: v = k · u for et tall k
  4. D: |u| = |v|
Vis løsning på oppgave 6

Parallell betyr k ganger: v = k · u.

Er k negativ, peker vektorene motsatt vei, men de er fortsatt parallelle.

Vinkelrett betyr skalarprodukt 0.

Fasit: C: v = k · u for et tall k

Fra leksjon 7.5 Parallelle vektorer · Se forklaringen i videoen

Oppgave 7

u · u = 25. Hvor lang er u?

Vis løsning på oppgave 7

u · u = |u|², så |u|² = 25 og |u| = √25 = 5.

Fasit: 5

Fra leksjon 7.3 Skalarprodukt · Se forklaringen i videoen

Oppgave 8

u = [−3, 4]. Regn ut u · u.

Vis løsning på oppgave 8

u · u = (−3)² + 4² = 9 + 16 = 25.

Det er |u|².

Fasit: 25

Fra leksjon 7.3 Skalarprodukt · Se forklaringen i videoen

Oppgave 9

Finn t slik at [−4, t] og [3, 4] står vinkelrett på hverandre.

Vis løsning på oppgave 9

−4 · 3 + t · 4 = 0, altså −12 + 4t = 0.

Det gir t = 3.

Fasit: 3

Fra leksjon 7.4 Vinkler og ortogonale vektorer · Se forklaringen i videoen

Oppgave 10

Finn vinkelen mellom a = [2, 1] og b = [−1, −3] i grader.

Vis løsning på oppgave 10

a · b = −5, |a| = √5 og |b| = √10. cos v = −0,707, så v = 135°.

Fasit: 135 °

Fra leksjon 7.4 Vinkler og ortogonale vektorer · Se forklaringen i videoen

Mer krevende

Oppgave 11

[−4, −8] = k · [2, 4]. Finn k.

Vis løsning på oppgave 11

−4 = k · 2 gir k = −2.

Sjekk y: −2 · 4 = −8.

Det stemmer.

Fasit: −2

Fra leksjon 7.5 Parallelle vektorer · Se forklaringen i videoen

Oppgave 12

Finn vinkelen mellom [−1, 0] og [2, −2]. Svar i grader med én desimal.

Vis løsning på oppgave 12

u · v = −2, |u| = √1 og |v| = √8. cos v = −2 delt på √1 · √8 ≈ −0,707, så v ≈ 135,0°.

Fasit: 135,0 °

Fra leksjon 7.4 Vinkler og ortogonale vektorer · Se forklaringen i videoen

Oppgave 13

Er u = [3, −2] og v = [9, −6] parallelle?

  1. A: Ja, v = 3u
  2. B: Nei, de er ikke parallelle
  3. C: Ja, v = −3u
  4. D: Ja, fordi u · v = 0
Vis løsning på oppgave 13

Fra x-koordinaten: 9 = k · 3 gir k = 3.

I y-koordinaten: 3 · (−2) = −6.

Det stemmer, så v = 3u.

Fasit: A: Ja, v = 3u

Fra leksjon 7.5 Parallelle vektorer · Se forklaringen i videoen

Oppgave 14

Finn t slik at [−2, 2] og [t, 6] er parallelle.

Vis løsning på oppgave 14

[t, 6] = k · [−2, 2].

Fra y-koordinaten: 6 = 2k, så k = 3.

Da er t = 3 · (−2) = −6.

Fasit: −6

Fra leksjon 7.5 Parallelle vektorer · Se forklaringen i videoen

Oppgave 15

Finn t slik at [t, −2] og [−9, 6] er parallelle.

Vis løsning på oppgave 15

[−9, 6] = k · [t, −2].

Fra y-koordinaten: 6 = −2k, så k = −3.

Fra x: −9 = −3t, så t = 3.

Fasit: 3

Fra leksjon 7.5 Parallelle vektorer · Se forklaringen i videoen

Fasit

Vis fasit til alle oppgavene
  1. Oppgave 1: 39
  2. Oppgave 2: −7
  3. Oppgave 3: C: 0
  4. Oppgave 4: D: Ja, skalarproduktet er 0
  5. Oppgave 5: 0,8
  6. Oppgave 6: C: v = k · u for et tall k
  7. Oppgave 7: 5
  8. Oppgave 8: 25
  9. Oppgave 9: 3
  10. Oppgave 10: 135 °
  11. Oppgave 11: −2
  12. Oppgave 12: 135,0 °
  13. Oppgave 13: A: Ja, v = 3u
  14. Oppgave 14: −6
  15. Oppgave 15: 3

Oppgavene hører til leksjonene 7.3–7.5 i modulen Vektorer, som øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R1, og bruk formelarket for R1 når du øver.

Les også

Oppgavene er laget av Sophus med de samme oppgavemalene som i kurset, og løsningene er kontrollert av en regnekontroll. Ser du likevel en feil, si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.