Hopp til innholdet

Grenseverdier og kontinuitet: oppgaver med fasit

Matematikk R1 · Vg2, realfagsmatematikk · 15 oppgaver · eksamen: del 1 og del 2

15 oppgaver i grenseverdier og kontinuitet i R1, med løsning steg for steg og fasit. Prøv selv først, og trykk «Vis løsning» når du vil sjekke svaret. Oppgavene er sortert fra kort til lang løsning.

Lær dette i Sophus: 2.3 Grenseverdier når x går mot uendelig, 2.4 Kontinuitet, 2.5 Diskontinuerlige funksjoner i praksis i Matematikk R1, med video og øving med nye tall hver gang. Se leksjonen

Lettere oppgaver

Oppgave 1

Portoen P(x) for et brev på x gram er 25 kr når 0 < x ≤ 100, 45 kr når 100 < x ≤ 500 og 65 kr når 500 < x ≤ 2000. Finn lim (x → 100⁺) P(x).

Vis løsning på oppgave 1

Litt over 100 gram koster brevet 45 kr, så grensen er 45.

Fasit: 45 kr

Fra leksjon 2.5 Diskontinuerlige funksjoner i praksis · Se forklaringen i videoen

Oppgave 2

Finn grenseverdien.

lim (x → ∞) 4x² + 5 delt på 3x² + 3

  1. A: 0
  2. B: 4 delt på 3
  3. C: ∞
  4. D: 5 delt på 3
Vis løsning på oppgave 2

Del hvert ledd på x².

Leddene 5 delt på x² og 3 delt på x² går mot 0, så grenseverdien er 4 delt på 3.

Fasit: B: 4 delt på 3

Fra leksjon 2.3 Grenseverdier når x går mot uendelig · Se forklaringen i videoen

Oppgave 3

Hva skjer med x² + 2 delt på 5x − 2 når x → ∞?

  1. A: Vokser over alle grenser (∞)
  2. B: Går mot −1
  3. C: Går mot 1 delt på 5
  4. D: Går mot 0
Vis løsning på oppgave 3

Telleren har grad 2 og nevneren grad 1.

Når x blir stor, vokser x² mye raskere enn 5x, så uttrykket vokser over alle grenser.

Fasit: A: Vokser over alle grenser (∞)

Fra leksjon 2.3 Grenseverdier når x går mot uendelig · Se forklaringen i videoen

Oppgave 4

Hvilken horisontal asymptote har grafen til f(x) = x + 2 delt på x + 3?

  1. A: y = 0
  2. B: y = 1
  3. C: y = 2 delt på 3
  4. D: x = −3
Vis løsning på oppgave 4

Del på x: f(x) → 1 når x → ∞, så den horisontale asymptoten er y = 1.

Fasit: B: y = 1

Fra leksjon 2.3 Grenseverdier når x går mot uendelig · Se forklaringen i videoen

Oppgave 5

Finn lim (x → 3⁻) f(x).

f(x) = x + 2 for x < 3, og f(x) = −2x + 3 for x ≥ 3

Vis løsning på oppgave 5

Fra venstre: x + 2 med x = 3 gir 5.

Fasit: 5

Fra leksjon 2.4 Kontinuitet · Se forklaringen i videoen

Middels vanskelige

Oppgave 6

Portoen P(x) for et brev på x gram er 25 kr når 0 < x ≤ 50, 45 kr når 50 < x ≤ 350 og 65 kr når 350 < x ≤ 2000. Du tegner grafen. Hvordan skal endepunktene ved x = 50 se ut?

  1. A: Ingen prikker: trinnene tegnes sammenhengende
  2. B: Åpen i (50, 25) og fylt i (50, 45)
  3. C: Fylt i (50, 25) og åpen i (50, 45)
  4. D: Fylt prikk i begge endene
Vis løsning på oppgave 6

P(50) = 25, så prikken er fylt i (50, 25) og åpen i (50, 45).

Fasit: C: Fylt i (50, 25) og åpen i (50, 45)

Fra leksjon 2.5 Diskontinuerlige funksjoner i praksis · Se forklaringen i videoen

Oppgave 7

En parkeringsplass koster 15 kr for hver påbegynte time. Hva koster det å stå parkert i 4,5 timer?

Vis løsning på oppgave 7

4,5 timer er 5 påbegynte timer: 5 · 15 = 75 kr.

Fasit: 75 kr

Fra leksjon 2.5 Diskontinuerlige funksjoner i praksis · Se forklaringen i videoen

Oppgave 8

Finn grenseverdien.

lim (x → ∞) 6x + 6 delt på x² + 7

Vis løsning på oppgave 8

Del på x²: telleren 6 delt på x + 6 delt på x² går mot 0, og nevneren 1 + 7 delt på x² går mot 1.

Grensen er 0 delt på 1 = 0.

Fasit: 0

Fra leksjon 2.3 Grenseverdier når x går mot uendelig · Se forklaringen i videoen

Oppgave 9

Finn grenseverdien.

lim (x → ∞) 4x² + 1 delt på x² − 2

Vis løsning på oppgave 9

Del hvert ledd på x².

1 delt på x² og 2 delt på x² går mot 0, så det står 4 delt på 1 = 4 igjen.

Fasit: 4

Fra leksjon 2.3 Grenseverdier når x går mot uendelig · Se forklaringen i videoen

Oppgave 10

Portoen P(x) for et brev på x gram er 22 kr når 0 < x ≤ 100, 42 kr når 100 < x ≤ 350 og 62 kr når 350 < x ≤ 2000. Hva koster et brev som veier nøyaktig 100 gram?

Vis løsning på oppgave 10

x = 100 oppfyller x ≤ 100, så P(100) = 22 kr.

Fasit: 22 kr

Fra leksjon 2.5 Diskontinuerlige funksjoner i praksis · Se forklaringen i videoen

Mer krevende

Oppgave 11

Hvilken verdi må k ha for at f skal være kontinuerlig i x = 2?

f(x) = x² − 4 delt på x − 2 for x ≠ 2, og f(2) = k

Vis løsning på oppgave 11

x² − 4 delt på x − 2 = x + 2 når x ≠ 2, så grenseverdien er 4.

Da må k = 4.

Fasit: 4

Fra leksjon 2.4 Kontinuitet · Se forklaringen i videoen

Oppgave 12

Portoen P(x) for et brev på x gram er 30 kr når 0 < x ≤ 100, 50 kr når 100 < x ≤ 500 og 70 kr når 500 < x ≤ 2000. Er P kontinuerlig i x = 100?

  1. A: Ja, prisen er definert for alle vekter
  2. B: Ja, P(100) = 30 finnes
  3. C: Nei, fordi P er en delt funksjon
  4. D: Nei, grafen har et sprang på 20 kr
Vis løsning på oppgave 12

Fra venstre: 30 kr.

Fra høyre: 50 kr.

Grensene er ulike, så P er ikke kontinuerlig i x = 100.

Fasit: D: Nei, grafen har et sprang på 20 kr

Fra leksjon 2.5 Diskontinuerlige funksjoner i praksis · Se forklaringen i videoen

Oppgave 13

Er f kontinuerlig i x = 2?

f(x) = x² for x < 2, og f(x) = 4x − 4 for x ≥ 2

  1. A: Nei, grensene fra venstre og høyre er ulike
  2. B: Det kan ikke avgjøres uten graf
  3. C: Ja, begge sider gir 4
  4. D: Nei, f har to ulike uttrykk
Vis løsning på oppgave 13

Fra venstre: 2² = 4.

Fra høyre og f(2): 4 · 2 − 4 = 4.

Alle er like, så f er kontinuerlig.

Fasit: C: Ja, begge sider gir 4

Fra leksjon 2.4 Kontinuitet · Se forklaringen i videoen

Oppgave 14

Bestem a slik at f blir kontinuerlig.

f(x) = x − 3 for x < 3, og f(x) = ax − 6 for x ≥ 3

Vis løsning på oppgave 14

Fra venstre: 3 − 3 = 0.

Fra høyre: 3a − 6.

Satt like: 3a = 6, så a = 2.

Fasit: 2

Fra leksjon 2.4 Kontinuitet · Se forklaringen i videoen

Oppgave 15

Bestem a slik at f blir kontinuerlig.

f(x) = 3x for x < 1, og f(x) = x + a for x ≥ 1

Vis løsning på oppgave 15

Fra venstre: 3 · 1 = 3.

Fra høyre: 1 + a.

1 + a = 3 gir a = 2.

Fasit: 2

Fra leksjon 2.4 Kontinuitet · Se forklaringen i videoen

Fasit

Vis fasit til alle oppgavene
  1. Oppgave 1: 45 kr
  2. Oppgave 2: B: 4 delt på 3
  3. Oppgave 3: A: Vokser over alle grenser (∞)
  4. Oppgave 4: B: y = 1
  5. Oppgave 5: 5
  6. Oppgave 6: C: Fylt i (50, 25) og åpen i (50, 45)
  7. Oppgave 7: 75 kr
  8. Oppgave 8: 0
  9. Oppgave 9: 4
  10. Oppgave 10: 22 kr
  11. Oppgave 11: 4
  12. Oppgave 12: D: Nei, grafen har et sprang på 20 kr
  13. Oppgave 13: C: Ja, begge sider gir 4
  14. Oppgave 14: 2
  15. Oppgave 15: 2

Oppgavene hører til leksjonene 2.3–2.5 i modulen Grenseverdier og kontinuitet, som øves til del 1 og del 2. Les mer om eksamen i R1, og bruk formelarket for R1 når du øver.

Les også

Oppgavene er laget av Sophus med de samme oppgavemalene som i kurset, og løsningene er kontrollert av en regnekontroll. Ser du likevel en feil, si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.