Eksponentielle funksjoner – forklart steg for steg
Når noe endrer seg med den samme prosenten hver gang, er det eksponentiell vekst. Her lærer du å lage en modell med vekstfaktor, og å skille den fra lineær vekst.
Dette er leksjon 7.4 Eksponentielle funksjoner i Sophus. I kurset har den video og øving. Den er med når du har tilgang til faget, men leksjon 1.1 er gratis. Se leksjonen
Modellen
f(x) = startverdi × vekstfaktorˣ
x er antall år, eller antall ganger endringen skjer. Øker noe med 5 % i året, er vekstfaktoren 1,05. Minker det med 15 %, er vekstfaktoren 0,85.
1 + 0,05 = 1,05
1 − 0,15 = 0,85
Lineær eller eksponentiell?
Lineær vekst øker med det samme tallet hver gang. Eksponentiell vekst øker med den samme prosenten hver gang. Sparer du 1 000 kr hvert år, er det lineært. Får du 5 % rente hvert år, er det eksponentielt.
Grafen til en lineær funksjon er en rett linje. Grafen til en eksponentiell funksjon krummer, og blir brattere og brattere når den vokser.
Eksempler
Eksempel 1: verdien av en bil
En bil koster 300 000 kr og taper 15 % av verdien hvert år. Lag en modell, og finn verdien etter 4 år.
1 − 0,15 = 0,85
300 000 × 0,85⁴ ≈ 156 602
Svar: Modellen er f(x) = 300 000 × 0,85ˣ. Etter 4 år er bilen verdt omtrent 156 602 kr.
Eksempel 2: en by som vokser
En by har 20 000 innbyggere og vokser med 2 % i året. Hvor mange bor der om 10 år?
1 + 0,02 = 1,02
20 000 × 1,02¹⁰ ≈ 24 380
Svar: Modellen er f(x) = 20 000 × 1,02ˣ. Om 10 år bor det omtrent 24 380 der.
Øv selv: 15 oppgaver i grafer og eksponentiell vekst med fasit og løsning steg for steg.
Vanlige feil
- Å trekke fra 15 % av startverdien hvert år. 300 000 − 4 × 45 000 = 120 000 kr er en lineær modell, og svaret blir feil.
- Å bruke 0,15 som vekstfaktor når verdien minker med 15 %. Vekstfaktoren er 0,85.
- Å gange vekstfaktoren med antall år i stedet for å opphøye. 0,85 × 4 er ikke det samme som 0,85⁴.
På eksamen
Eksponentielle modeller kommer på del 2. Fra våren 2027 har du ikke GeoGebra, så du regner ut verdiene på kalkulatoren og tegner grafen for hånd fra en verditabell. Skriv hva startverdien og vekstfaktoren er, og hva x står for.
Leksjonen hører til modulen Funksjoner og modellering og øves til del 2. Les mer om eksamen i 1P, og bruk formelarket for 1P når du øver.
Begreper: eksponentiell vekst vekstfaktor startverdi
Les også
- Hva er en funksjon? – forklart steg for steg
- Stigningstall og konstantledd i lineære funksjoner
- Lese og tolke grafer – forklart steg for steg
- Andre modeller: andregradsfunksjoner – forklart steg for steg
- Når gjelder modellen? – forklart steg for steg
- Grafer og eksponentiell vekst: oppgaver med fasit
- Prøv en gratis oppgave i 1P
Mer om matte 1P
- Alle modulene i matte 1P
- Eksamen i 1P: del 1, del 2 og hjelpemidler
- Eksamensguide for 1P: oppgavetypene med eksempler
- Formelark for 1P
- Begrepene i 1P forklart
- De 10 vanligste feilene i 1P
- Temaer i 1P forklart med eksempler
- Oppgaver med fasit i 1P, ordnet etter tema
Ser du en feil? Si fra på kontakt@sophus.no, så retter vi den.